(x^2-x-2)/(x^2+4x+3)<= 0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} + 4 x + 3} \leq 0

Estudamos o sinal do numerador

⇥1.1) Vamos estudar o sinal de

x^{2} - x - 2

resolvendo em

ℝ

x^{2} - x - 2 \leq 0

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -1

c = -2

⇥

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-2)

8

⇥

Δ = 1 + 8

⇥ⓘ Partimos de

1

e avançamos

8

na reta numérica:

1 + 8

9

⇥

Δ = 9

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

⇥

x_{1} = \frac{1 - 3}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 - 3

-2

⇥

x_{1} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{2}

-1

⇥

x_{1} = -1

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

⇥

x_{2} = \frac{1 + 3}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 3

4

⇥

x_{2} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{4}{2}

2

⇥

x_{2} = 2

⇥O trinómio tem sinal oposto ao de a (

1

) entre as suas raízes, pelo que é negativo entre elas; as raízes, onde se anula, estão incluídas.

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in [-1; 2]

⇥Portanto, a expressão

x^{2} - x - 2

é negativa ou nula em

[-1; 2]

e positiva nos restantes pontos

Estudamos o sinal do denominador, que não se deve anular

⇥1.2) Vamos estudar o sinal de

x^{2} + 4 x + 3

resolvendo em

ℝ

x^{2} + 4 x + 3 < 0

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = 4

c = 3

⇥

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

4^{2}

4 \cdot 4

16

⇥

Δ = 16 - 4 \cdot 3

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

⇥

Δ = 16 - 12

⇥ⓘ Partimos de

16

e recuamos

12

na reta numérica:

16 - 12

4

⇥

Δ = 4

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{4}

2

pois

2^{2}

4

⇥

x_{1} = \frac{- 4 - 2}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 4 - 2

-6

⇥

x_{1} = - \frac{6}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{6}{2}

-3

⇥

x_{1} = -3

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{4}

2

pois

2^{2}

4

⇥

x_{2} = \frac{- 4 + 2}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 4 + 2

-2

⇥

x_{2} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{2}

-1

⇥

x_{2} = -1

⇥O trinómio tem sinal oposto ao de a (

1

) entre as suas raízes, pelo que é negativo entre elas; as raízes, onde se anula, estão excluídas.

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] -3; -1 [

⇥Portanto, a expressão

x^{2} + 4 x + 3

é negativa em

] -3; -1 [

e positiva ou nula nos restantes pontos

2) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$-3$		$-1$		$2$		$+∞$
$x^{2} - x - 2$		+		+	0	-	0	+
$x^{2} + 4 x + 3$		+	0	-	0	+		+
$\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}$		+	❌	-	❌	-	0	+

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] -3; -1 [\cup] -1; 2]

3) Vamos determinar o domínio de

\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} + 4 x + 3} \leq 0

Para que a expressão

\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}

esteja definida, é necessário:

x^{2} + 4 x + 3 \neq 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = 4

c = 3

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

4^{2}

4 \cdot 4

16

Δ = 16 - 4 \cdot 3

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

Δ = 16 - 12

ⓘ Partimos de

16

e recuamos

12

na reta numérica:

16 - 12

4

Δ = 4

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{4}

2

pois

2^{2}

4

x_{1} = \frac{- 4 - 2}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 4 - 2

-6

x_{1} = - \frac{6}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{6}{2}

-3

x_{1} = -3

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{4}

2

pois

2^{2}

4

x_{2} = \frac{- 4 + 2}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 4 + 2

-2

x_{2} = - \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{2}

-1

x_{2} = -1

Restrições do domínio:

x \in ℝ \ {-3; -1}

▶Solução:

x \in] -3; -1 [\cup] -1; 2]