(x^2-x-2)/(x^2-4x+3)>= 0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 4 x + 3} \geq 0

Estudamos o sinal do numerador

⇥1.1) Vamos estudar o sinal de

x^{2} - x - 2

resolvendo em

ℝ

x^{2} - x - 2 \geq 0

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -1

c = -2

⇥

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-2)

8

⇥

Δ = 1 + 8

⇥ⓘ Partimos de

1

e avançamos

8

na reta numérica:

1 + 8

9

⇥

Δ = 9

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

⇥

x_{1} = \frac{1 - 3}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 - 3

-2

⇥

x_{1} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{2}

-1

⇥

x_{1} = -1

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

⇥

x_{2} = \frac{1 + 3}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 3

4

⇥

x_{2} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{4}{2}

2

⇥

x_{2} = 2

⇥O trinómio tem o sinal de a (

1

) fora das suas raízes, pelo que é positivo fora delas; as raízes, onde se anula, estão incluídas.

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] -∞; -1] \cup [2; +∞ [

⇥Portanto, a expressão

x^{2} - x - 2

é positiva ou nula em

] -∞; -1] \cup [2; +∞ [

e negativa nos restantes pontos

Estudamos o sinal do denominador, que não se deve anular

⇥1.2) Vamos estudar o sinal de

x^{2} - 4 x + 3

resolvendo em

ℝ

x^{2} - 4 x + 3 > 0

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -4

c = 3

⇥

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

⇥

Δ = 16 - 4 \cdot 3

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

⇥

Δ = 16 - 12

⇥ⓘ Partimos de

16

e recuamos

12

na reta numérica:

16 - 12

4

⇥

Δ = 4

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{4}

2

pois

2^{2}

4

⇥

x_{1} = \frac{4 - 2}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

4 - 2

2

⇥

x_{1} = \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

⇥

x_{1} = 1

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{4}

2

pois

2^{2}

4

⇥

x_{2} = \frac{4 + 2}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

4 + 2

6

⇥

x_{2} = \frac{6}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{2}

3

⇥

x_{2} = 3

⇥O trinómio tem o sinal de a (

1

) fora das suas raízes, pelo que é positivo fora delas; as raízes, onde se anula, estão excluídas.

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] -∞; 1 [\cup] 3; +∞ [

⇥Portanto, a expressão

x^{2} - 4 x + 3

é positiva em

] -∞; 1 [\cup] 3; +∞ [

e negativa ou nula nos restantes pontos

2) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$-1$		$1$		$2$		$3$		$+∞$
$x^{2} - x - 2$		+	0	-		-	0	+		+
$x^{2} - 4 x + 3$		+		+	0	-		-	0	+
$\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 4 x + 3}$		+	0	-	❌	+	0	-	❌	+

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] -∞; -1] \cup] 1; 2] \cup] 3; +∞ [

3) Vamos procurar o domínio de

\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 4 x + 3} \geq 0

Para que a expressão

\frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 4 x + 3}

esteja definida, é necessário:

x^{2} - 4 x + 3 \neq 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -4

c = 3

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

Δ = 16 - 4 \cdot 3

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

Δ = 16 - 12

ⓘ Partimos de

16

e recuamos

12

na reta numérica:

16 - 12

4

Δ = 4

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{4}

2

pois

2^{2}

4

x_{1} = \frac{4 - 2}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

4 - 2

2

x_{1} = \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

x_{1} = 1

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{4}

2

pois

2^{2}

4

x_{2} = \frac{4 + 2}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

4 + 2

6

x_{2} = \frac{6}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{2}

3

x_{2} = 3

Restrições do domínio:

x \in ℝ \ {1; 3}

▶Solução:

x \in] -∞; -1] \cup] 1; 2] \cup] 3; +∞ [