(xdy)/(dx)=y+sqrt(x^2-y^2) — solução passo a passo

⚠ (xdy)/(dx)=y+sqrt(x^2-y^2) é interpretado como (x)*y'=y+sqrt(x^2-y^2): utilize dif(expression, variable) para uma derivada em relação a essa variável, utilize (numerador)/(denominador) para um quociente

1) Vamos resolver a equação diferencial

x \cdot y' = y + \sqrt{x^{2} - y^{2}}

, onde

y

é uma função de

x

; num intervalo onde

x > 0

, podemos isolar

y'

y' = \frac{y + \sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}

Neste intervalo, o segundo membro só depende de

\frac{y}{x}

: a equação é homogénea. Com

v = \frac{y}{x}

, escreve-se

y' = v + \sqrt{1 - v^{2}}

Fazemos

y = v x

, onde

v

é uma função de

x

: então

y' = v + x \cdot v'

, e a equação passa a ser

v + x \cdot v' = v + \sqrt{1 - v^{2}}

, ou seja,

x \cdot v' = \sqrt{1 - v^{2}}

O segundo membro está definido para

v \in [-1; 1]

, pelo que esta condição continua a ser necessária para cada ramo

Antes de dividir,

\sqrt{1 - v^{2}} = 0

dá as soluções de equilíbrio

v = {-1; 1}

, ou seja,

(y = - x \lor y = x)

Nos intervalos onde

\sqrt{1 - v^{2}} \neq 0

, separamos as variáveis:

\frac{dv}{\sqrt{1 - v^{2}}} = \frac{dx}{x}

⇥1.1) Vamos calcular a integral:

\int \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}} d v

⇥ⓘ A derivada de

\arcsin (v)

\frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}

, pelo que

\arcsin (v)

é uma primitiva de

\frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}

\int \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}} d v

\arcsin (v)

⇥

\arcsin (v)

Integrando ambos os membros, com

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

pois

x \neq 0

\arcsin (v) = \ln | x | + C

, onde

C

é uma constante real arbitrária, própria de cada intervalo

Isolamos

v

v = \sin (\ln | x | + C)

. Como

y = v x

, os ramos de soluções são:

Estes ramos são válidos nos intervalos onde

x > 0

. Nos pontos onde

\sqrt{1 - v^{2}} = 0

, uma ligação a uma solução de equilíbrio deve conservar o valor e a derivada e satisfazer a equação inicial

Num intervalo onde

x < 0

, podemos isolar

y'

y' = \frac{y + \sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}

Neste intervalo, o segundo membro só depende de

\frac{y}{x}

: a equação é homogénea. Com

v = \frac{y}{x}

, escreve-se

y' = v - \sqrt{1 - v^{2}}

Fazemos

y = v x

, onde

v

é uma função de

x

: então

y' = v + x \cdot v'

, e a equação passa a ser

v + x \cdot v' = v - \sqrt{1 - v^{2}}

, ou seja,

x \cdot v' = - \sqrt{1 - v^{2}}

O segundo membro está definido para

v \in [-1; 1]

, pelo que esta condição continua a ser necessária para cada ramo

Antes de dividir,

- \sqrt{1 - v^{2}} = 0

dá as soluções de equilíbrio

v = {-1; 1}

, ou seja,

(y = - x \lor y = x)

Nos intervalos onde

- \sqrt{1 - v^{2}} \neq 0

, separamos as variáveis:

- \frac{dv}{\sqrt{1 - v^{2}}} = \frac{dx}{x}

⇥1.2) Vamos calcular a integral:

\int (- \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}) d v

⇥ⓘ A derivada de

\arccos (v)

- \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}

, pelo que

\arccos (v)

é uma primitiva de

- \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}

\int (- \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}) d v

\arccos (v)

⇥

\arccos (v)

Integrando ambos os membros, com

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

pois

x \neq 0

\arccos (v) = \ln | x | + C

, onde

C

é uma constante real arbitrária, própria de cada intervalo

Isolamos

v

v = \cos (\ln | x | + C)

. Como

y = v x

, os ramos de soluções são:

Estes ramos são válidos nos intervalos onde

x < 0

. Nos pontos onde

- \sqrt{1 - v^{2}} = 0

, uma ligação a uma solução de equilíbrio deve conservar o valor e a derivada e satisfazer a equação inicial

▶Solução:

((x > 0 \land (y = - x \lor y = x \lor y = x \cdot \sin (\ln | x | + C))) \lor (x < 0 \land (y = - x \lor y = x \lor y = x \cdot \cos (\ln | x | + C))))