assíntotas de (3x^2-18x+24)/(x^2-4x)

1) Vamos procurar as assíntotas de

\frac{3 x^{2} - 18 x + 24}{x^{2} - 4 x}

, para

x

real

Assíntotas verticais: vamos procurar os valores excluídos, que anulam o denominador. Depois devemos verificar se a curva tende para infinito perto desses valores

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - 4 x = 0

⇥Podemos fatorizar a expressão

x^{2} - 4 x

como

x \cdot (x - 4)

⇥Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus fatores for nulo: igualamos cada fator a 0 e resolvemos

⇥⇥1.1.1) Vamos resolver em

ℝ

x = 0

⇥⇥Solução encontrada:

x = 0

⇥⇥1.1.2) Vamos resolver em

ℝ

x - 4 = 0

⇥⇥Solução obtida:

x = 4

Quando

x

se aproxima de

0

pela esquerda (valores menores), a função tende para

+∞

; pela direita (valores maiores), tende para

-∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = 0

é uma assíntota vertical

Quando

x

se aproxima de

4

pela esquerda (valores menores), a função tende para

\frac{3}{2}

; pela direita (valores maiores), tende para

\frac{3}{2}

Os limites são finitos em

4

: trata-se de um ponto em falta, não de uma assíntota vertical

⇥1.2) Vamos calcular o quociente e o resto de

(3 x^{2} - 18 x + 24)

por

(x^{2} - 4 x)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$3 x^{2} - 18 x + 24$	$\frac{3 x^{2}}{x^{2}}$	$3$	$3 \cdot (x^{2} - 4 x) = 3 x^{2} - 12 x$	$(3 x^{2} - 18 x + 24) - (3 x^{2} - 12 x) = - 6 x + 24$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

3

O quociente da divisão é a constante

3

: a reta a verificar é

y = 3

Para uma assíntota horizontal, a função deve tender para um valor finito: vamos verificar o limite de

\frac{3 x^{2} - 18 x + 24}{x^{2} - 4 x}

nos dois infinitos

Quando

x

tende para +∞,

\frac{3 x^{2} - 18 x + 24}{x^{2} - 4 x}

tende para

3

; quando

x

tende para -∞,

\frac{3 x^{2} - 18 x + 24}{x^{2} - 4 x}

tende para

3

A assíntota horizontal é

y = 3

, pelo que não há assíntota oblíqua

▶Assíntotas:

{x = 0; y = 3}

🖼/draw?f1=%283*x%5E2+-+18*x+%2B+24%29%2F%28x%5E2+-+4*x%29&v=x&x2=0&f3=3&b=-10.0&e=10.0&min=-0.54&max=5.94&dash=2,3