assíntotas de (x+2)/(x^2-2x-3) — solução passo a passo

Vamos procurar as assíntotas de

\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 3}

, para

x

real

Assíntotas verticais: vamos procurar os valores excluídos, que anulam o denominador. Depois devemos verificar se a curva tende para infinito perto desses valores

Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - 2 x - 3 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -2

c = -3

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

Δ = 4 - 4 \cdot (-3)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-3)

12

Δ = 4 + 12

ⓘ Partimos de

4

e avançamos

12

na reta numérica:

4 + 12

16

Δ = 16

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{16}

4

pois

4^{2}

16

x_{1} = \frac{2 - 4}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

2 - 4

-2

x_{1} = - \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{2}

-1

x_{1} = -1

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{16}

4

pois

4^{2}

16

x_{2} = \frac{2 + 4}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

2 + 4

6

x_{2} = \frac{6}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{2}

3

x_{2} = 3

Soluções obtidas:

x = {-1; 3}

Quando

x

se aproxima de

-1

pela esquerda (valores menores), a função tende para

+∞

; pela direita (valores maiores), tende para

-∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = -1

é uma assíntota vertical

Quando

x

se aproxima de

3

pela esquerda (valores menores), a função tende para

-∞

; pela direita (valores maiores), tende para

+∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = 3

é uma assíntota vertical

No infinito, o grau do numerador é menor que o do denominador: a reta a verificar é

y = 0

Para uma assíntota horizontal, a função deve tender para um valor finito: vamos verificar o limite de

\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 3}

nos dois infinitos

Quando

x

tende para +∞,

\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 3}

tende para

0

; quando

x

tende para -∞,

\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 3}

tende para

0

A assíntota horizontal é

y = 0

, pelo que não há assíntota oblíqua

▶Assíntotas:

{x = -1; x = 3; y = 0}

🖼/draw?f1=%28x+%2B+2%29%2F%28x%5E2+-+2*x+-+3%29&v=x&x2=-1&x3=3&f4=0&b=-9.0&e=11.0&min=-0.9890109890109889&max=0.5934065934065934&dash=2,3,4