assíntotas de (x-9)/(sqrt(4x^2+3x+2))

Vamos procurar as assíntotas de

\frac{x - 9}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x + 2}}

, para

x

real

O denominador é uma raiz quadrada: o domínio é dado por

4 x^{2} + 3 x + 2 > 0

Vamos resolver em

ℝ

4 x^{2} + 3 x + 2 > 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 4

b = 3

c = 2

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 4

16

Δ = 9 - 16 \cdot 2

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

16 \cdot 2

(10 + 6) \cdot 2

10 \cdot 2 + 6 \cdot 2

20 + 12

32

Δ = 9 - 32

ⓘ Partimos de

9

e recuamos

32

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

9 - 32

-23

Δ = -23

O trinómio não tem raízes reais: tem sempre o sinal de a (

4

), pelo que é positivo para todo

x

Solução obtida:

x \in ℝ

O radicando é estritamente positivo em ℝ: a função está definida e é contínua em ℝ, sem assíntota vertical

No infinito, os termos dominantes são

x

no numerador e

\sqrt{4 x^{2}}

no denominador. Atenção:

\sqrt{x^{2}}

| x |

Quando

x

tende para

-∞

\frac{x}{| x |}

vale

-1

: a função tende para

- \frac{1}{2}

-∞

, o limite é finito:

y = - \frac{1}{2}

é uma assíntota horizontal

Quando

x

tende para

+∞

\frac{x}{| x |}

vale

1

: a função tende para

\frac{1}{2}

+∞

, o limite é finito:

y = \frac{1}{2}

é uma assíntota horizontal

Os limites nos dois infinitos são finitos: não há assíntota oblíqua

▶Assíntotas:

{y = - \frac{1}{2}; y = \frac{1}{2}}

🖼/draw?f1=%28x+-+9%29%2Fsqrt%284*x%5E2+%2B+3*x+%2B+2%29&v=x&f2=-1%2F2&f3=1%2F2&b=-10.0&e=10.0&min=-4.4576322693961465&max=0.950693842672377&dash=2,3