assíntotas de (x^3)/(x^2-9) — solução passo a passo

1) Vamos procurar as assíntotas de

\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}

, para

x

real

Assíntotas verticais: vamos procurar os valores excluídos, que anulam o denominador. Depois devemos verificar se a curva tende para infinito perto desses valores

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - 9 = 0

⇥Os dois números cujo quadrado vale

9

são

-3

3

⇥Soluções obtidas:

x = {-3; 3}

Quando

x

se aproxima de

-3

pela esquerda (valores menores), a função tende para

-∞

; pela direita (valores maiores), tende para

+∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = -3

é uma assíntota vertical

Quando

x

se aproxima de

3

pela esquerda (valores menores), a função tende para

-∞

; pela direita (valores maiores), tende para

+∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = 3

é uma assíntota vertical

⇥1.2) Vamos calcular o quociente e o resto de

(x^{3})

por

(x^{2} - 9)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{3}$	$\frac{x^{3}}{x^{2}}$	$x$	$x \cdot (x^{2} - 9) = x^{3} - 9 x$	$x^{3} - (x^{3} - 9 x) = 9 x$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

x

A divisão permite escrever

\frac{x^{3}}{x^{2} - 9} = x + \frac{9 x}{x^{2} - 9}

: a reta a verificar é

y = x

Para uma assíntota oblíqua, a diferença entre a função e a reta deve tender para 0: vamos verificar o limite de

\frac{9 x}{x^{2} - 9}

nos dois infinitos

A diferença tende para

0

em +∞ e para

0

em -∞: a curva aproxima-se da reta nos dois infinitos

A assíntota oblíqua é

y = x

, pelo que não há assíntota horizontal

▶Assíntotas:

{x = -3; x = 3; y = x}

🖼/draw?f1=x%5E3%2F%28x%5E2+-+9%29&v=x&x2=-3&x3=3&f4=x&b=-10.0&e=10.0&min=-12.1375&max=12.0125&dash=2,3,4