assíntotas de (x^3-x^2-x+1)/(x^2-4)

1) Vamos procurar as assíntotas de

\frac{x^{3} - x^{2} - x + 1}{x^{2} - 4}

, para

x

real

Assíntotas verticais: vamos procurar os valores excluídos, que anulam o denominador. Depois devemos verificar se a curva tende para infinito perto desses valores

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - 4 = 0

⇥Os dois números cujo quadrado vale

4

são

-2

2

⇥Soluções obtidas:

x = {-2; 2}

Quando

x

se aproxima de

-2

pela esquerda (valores menores), a função tende para

-∞

; pela direita (valores maiores), tende para

+∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = -2

é uma assíntota vertical

Quando

x

se aproxima de

2

pela esquerda (valores menores), a função tende para

-∞

; pela direita (valores maiores), tende para

+∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = 2

é uma assíntota vertical

⇥1.2) Vamos começar a divisão euclidiana de

(x^{3}

- x^{2}

- x

+ 1)

por

(x^{2} - 4)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{3}$ $- x^{2}$ $- x$ $+ 1$	$\frac{x^{3}}{x^{2}}$	$x$	$x \cdot (x^{2} - 4) = x^{3} - 4 x$	$(x^{3}$ $- x^{2}$ $- x$ $+ 1) - (x^{3} - 4 x) = - x^{2} + 3 x + 1$
$- x^{2} + 3 x + 1$	$- \frac{x^{2}}{x^{2}}$	$-1$	$-1 \cdot (x^{2} - 4) = - x^{2} + 4$	$(- x^{2} + 3 x + 1) - (- x^{2} + 4) = 3 x - 3$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

(x - 1)

A divisão permite escrever

\frac{x^{3} - x^{2} - x + 1}{x^{2} - 4} = (x - 1) + \frac{3 x - 3}{x^{2} - 4}

: a reta a verificar é

y = x - 1

Para uma assíntota oblíqua, a diferença entre a função e a reta deve tender para 0: vamos verificar o limite de

\frac{3 x - 3}{x^{2} - 4}

nos dois infinitos

A diferença tende para

0

em +∞ e para

0

em -∞: a curva aproxima-se da reta nos dois infinitos

A assíntota oblíqua é

y = x - 1

, pelo que não há assíntota horizontal

▶Assíntotas:

{x = -2; x = 2; y = x - 1}

🖼/draw?f1=%28x%5E3+-+x%5E2+-+x+%2B+1%29%2F%28x%5E2+-+4%29&v=x&x2=-2&x3=2&f4=x+-+1&b=-10.0&e=10.0&min=-13.0&max=11.0&dash=2,3,4