assíntotas de (x^4-1)/x^3 — solução passo a passo

1) Vamos procurar as assíntotas de

\frac{x^{4} - 1}{x^{3}}

, para

x

real

Assíntotas verticais: vamos procurar os valores excluídos, que anulam o denominador. Depois devemos verificar se a curva tende para infinito perto desses valores

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

x^{3} = 0

⇥

x^{3} = 0

implica:

x = 0

⇥Solução encontrada:

x = 0

Quando

x

se aproxima de

0

pela esquerda (valores menores), a função tende para

+∞

; pela direita (valores maiores), tende para

-∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = 0

é uma assíntota vertical

⇥1.2) Vamos calcular o quociente e o resto de

(x^{4} - 1)

por

(x^{3})

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{4} - 1$	$\frac{x^{4}}{x^{3}}$	$x$	$x x^{3} = x^{4}$	$(x^{4} - 1) - x^{4} = -1$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

x

A divisão permite escrever

\frac{x^{4} - 1}{x^{3}} = x - \frac{1}{x^{3}}

: a reta a verificar é

y = x

Para uma assíntota oblíqua, a diferença entre a função e a reta deve tender para 0: vamos verificar o limite de

- \frac{1}{x^{3}}

nos dois infinitos

A diferença tende para

0

em +∞ e para

0

em -∞: a curva aproxima-se da reta nos dois infinitos

A assíntota oblíqua é

y = x

, pelo que não há assíntota horizontal

▶Assíntotas:

{x = 0; y = x}

🖼/draw?f1=%28x%5E4+-+1%29%2Fx%5E3&v=x&x2=0&f3=x&b=-10.0&e=10.0&min=-12.0&max=12.0&dash=2,3