assíntotas de f(x)=1/(-2x^2+2x+12)

Vamos procurar as assíntotas de

\frac{1}{- 2 x^{2} + 2 x + 12}

, para

x

real

Assíntotas verticais: vamos procurar os valores excluídos, que anulam o denominador. Depois devemos verificar se a curva tende para infinito perto desses valores

Vamos resolver em

ℝ

- 2 x^{2} + 2 x + 12 = 0

Como

-2 \neq 0

, dividimos ambos os membros por

-2

x^{2} - x - 6 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -1

c = -6

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-6)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-6)

24

Δ = 1 + 24

ⓘ Partimos de

1

e avançamos

24

na reta numérica:

1 + 24

25

Δ = 25

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{25}

5

pois

5^{2}

25

x_{1} = \frac{1 - 5}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 - 5

-4

x_{1} = - \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{4}{2}

-2

x_{1} = -2

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{25}

5

pois

5^{2}

25

x_{2} = \frac{1 + 5}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 5

6

x_{2} = \frac{6}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{2}

3

x_{2} = 3

Soluções obtidas:

x = {-2; 3}

Quando

x

se aproxima de

-2

pela esquerda (valores menores), a função tende para

-∞

; pela direita (valores maiores), tende para

+∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = -2

é uma assíntota vertical

Quando

x

se aproxima de

3

pela esquerda (valores menores), a função tende para

+∞

; pela direita (valores maiores), tende para

-∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = 3

é uma assíntota vertical

No infinito, o grau do numerador é menor que o do denominador: a reta a verificar é

y = 0

Para uma assíntota horizontal, a função deve tender para um valor finito: vamos verificar o limite de

\frac{1}{- 2 x^{2} + 2 x + 12}

nos dois infinitos

Quando

x

tende para +∞,

\frac{1}{- 2 x^{2} + 2 x + 12}

tende para

0

; quando

x

tende para -∞,

\frac{1}{- 2 x^{2} + 2 x + 12}

tende para

0

A assíntota horizontal é

y = 0

, pelo que não há assíntota oblíqua

▶Assíntotas:

{x = -2; x = 3; y = 0}

🖼/draw?f1=1%2F%28-2*x%5E2+%2B+2*x+%2B+12%29&v=x&x2=-2&x3=3&f4=0&b=-9.5&e=10.5&min=-0.10119047619047619&max=0.11309523809523808&dash=2,3,4