assíntotas de f(x)=(2x^2-5x+7)/(x-2)

1) Vamos procurar as assíntotas de

\frac{2 x^{2} - 5 x + 7}{x - 2}

, para

x

real

Assíntotas verticais: vamos procurar os valores excluídos, que anulam o denominador. Depois devemos verificar se a curva tende para infinito perto desses valores

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

x - 2 = 0

⇥ⓘ Somamos

2

a ambos os membros

⇥Solução encontrada:

x = 2

Quando

x

se aproxima de

2

pela esquerda (valores menores), a função tende para

-∞

; pela direita (valores maiores), tende para

+∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = 2

é uma assíntota vertical

⇥1.2) Vamos calcular o quociente e o resto de

(2 x^{2} - 5 x + 7)

por

(x - 2)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$2 x^{2} - 5 x + 7$	$\frac{2 x^{2}}{x}$	$2 x$	$2 x \cdot (x - 2) = 2 x^{2} - 4 x$	$(2 x^{2} - 5 x + 7) - (2 x^{2} - 4 x) = - x + 7$
$- x + 7$	$- \frac{x}{x}$	$-1$	$-1 \cdot (x - 2) = - x + 2$	$(- x + 7) - (- x + 2) = 5$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

(2 x - 1)

A divisão permite escrever

\frac{2 x^{2} - 5 x + 7}{x - 2} = (2 x - 1) + \frac{5}{x - 2}

: a reta a verificar é

y = 2 x - 1

Para uma assíntota oblíqua, a diferença entre a função e a reta deve tender para 0: vamos verificar o limite de

\frac{5}{x - 2}

nos dois infinitos

A diferença tende para

0

em +∞ e para

0

em -∞: a curva aproxima-se da reta nos dois infinitos

A assíntota oblíqua é

y = 2 x - 1

, pelo que não há assíntota horizontal

▶Assíntotas:

{x = 2; y = 2 x - 1}

🖼/draw?f1=%282*x%5E2+-+5*x+%2B+7%29%2F%28x+-+2%29&v=x&x2=2&f3=2*x+-+1&b=-8.0&e=12.0&min=-21.0&max=27.0&dash=2,3