assíntotas de f(x)=(3x)/(x^2-8) — solução passo a passo

Vamos procurar as assíntotas de

\frac{3 x}{x^{2} - 8}

, para

x

real

Assíntotas verticais: vamos procurar os valores excluídos, que anulam o denominador. Depois devemos verificar se a curva tende para infinito perto desses valores

Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - 8 = 0

Os dois números cujo quadrado vale

8

são

- 2 \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

Soluções obtidas:

x = {- 2 \cdot \sqrt{2}; 2 \cdot \sqrt{2}}

Quando

x

se aproxima de

- 2 \cdot \sqrt{2}

pela esquerda (valores menores), a função tende para

-∞

; pela direita (valores maiores), tende para

+∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = - 2 \cdot \sqrt{2}

é uma assíntota vertical

Quando

x

se aproxima de

2 \cdot \sqrt{2}

pela esquerda (valores menores), a função tende para

-∞

; pela direita (valores maiores), tende para

+∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = 2 \cdot \sqrt{2}

é uma assíntota vertical

No infinito, o grau do numerador é menor que o do denominador: a reta a verificar é

y = 0

Para uma assíntota horizontal, a função deve tender para um valor finito: vamos verificar o limite de

\frac{3 x}{x^{2} - 8}

nos dois infinitos

Quando

x

tende para +∞,

\frac{3 x}{x^{2} - 8}

tende para

0

; quando

x

tende para -∞,

\frac{3 x}{x^{2} - 8}

tende para

0

A assíntota horizontal é

y = 0

, pelo que não há assíntota oblíqua

▶Assíntotas:

{x = - 2 \cdot \sqrt{2}; x = 2 \cdot \sqrt{2}; y = 0}

🖼/draw?f1=%283*x%29%2F%28x%5E2+-+8%29&v=x&x2=-2*sqrt%282%29&x3=2*sqrt%282%29&f4=0&b=-10.0&e=10.0&min=-1.8&max=1.8&dash=2,3,4