assíntotas de f(x)=(4x)/(x^2+3x-10)

Vamos procurar as assíntotas de

\frac{4 x}{x^{2} + 3 x - 10}

, para

x

real

Assíntotas verticais: vamos procurar os valores excluídos, que anulam o denominador. Depois devemos verificar se a curva tende para infinito perto desses valores

Vamos resolver em

ℝ

x^{2} + 3 x - 10 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = 3

c = -10

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

Δ = 9 - 4 \cdot (-10)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-10)

40

Δ = 9 + 40

ⓘ Partimos de

9

e avançamos

40

na reta numérica:

9 + 40

49

Δ = 49

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{49}

7

pois

7^{2}

49

x_{1} = \frac{- 3 - 7}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 3 - 7

-10

x_{1} = - \frac{10}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{10}{2}

-5

x_{1} = -5

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{49}

7

pois

7^{2}

49

x_{2} = \frac{- 3 + 7}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 3 + 7

4

x_{2} = \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{4}{2}

2

x_{2} = 2

Soluções encontradas:

x = {-5; 2}

Quando

x

se aproxima de

-5

pela esquerda (valores menores), a função tende para

-∞

; pela direita (valores maiores), tende para

+∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = -5

é uma assíntota vertical

Quando

x

se aproxima de

2

pela esquerda (valores menores), a função tende para

-∞

; pela direita (valores maiores), tende para

+∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = 2

é uma assíntota vertical

No infinito, o grau do numerador é menor que o do denominador: a reta a verificar é

y = 0

Para uma assíntota horizontal, a função deve tender para um valor finito: vamos verificar o limite de

\frac{4 x}{x^{2} + 3 x - 10}

nos dois infinitos

Quando

x

tende para +∞,

\frac{4 x}{x^{2} + 3 x - 10}

tende para

0

; quando

x

tende para -∞,

\frac{4 x}{x^{2} + 3 x - 10}

tende para

0

A assíntota horizontal é

y = 0

, pelo que não há assíntota oblíqua

▶Assíntotas:

{x = -5; x = 2; y = 0}

🖼/draw?f1=%284*x%29%2F%28x%5E2+%2B+3*x+-+10%29&v=x&x2=-5&x3=2&f4=0&b=-12.0&e=9.0&min=-2.123265306122449&max=2.1967346938775503&dash=2,3,4