assíntotas de f(x)=(5x)/(2x+3) — solução passo a passo

1) Vamos procurar as assíntotas de

\frac{5 x}{2 x + 3}

, para

x

real

Assíntotas verticais: vamos procurar os valores excluídos, que anulam o denominador. Depois devemos verificar se a curva tende para infinito perto desses valores

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

2 x + 3 = 0

⇥ⓘ Subtraímos

3

a ambos os membros

⇥

2 x = -3

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥Solução obtida:

x = - \frac{3}{2}

Quando

x

se aproxima de

- \frac{3}{2}

pela esquerda (valores menores), a função tende para

+∞

; pela direita (valores maiores), tende para

-∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = - \frac{3}{2}

é uma assíntota vertical

⇥1.2) Vamos começar a divisão euclidiana de

(5 x)

por

(2 x + 3)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$5 x$	$\frac{5 x}{2 x}$	$\frac{5}{2}$	$\frac{5}{2} \cdot (2 x + 3) = 5 x + \frac{15}{2}$	$5 x - (5 x + \frac{15}{2}) = - \frac{15}{2}$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

\frac{5}{2}

O quociente da divisão é a constante

\frac{5}{2}

: a reta a verificar é

y = \frac{5}{2}

Para uma assíntota horizontal, a função deve tender para um valor finito: vamos verificar o limite de

\frac{5 x}{2 x + 3}

nos dois infinitos

Quando

x

tende para +∞,

\frac{5 x}{2 x + 3}

tende para

\frac{5}{2}

; quando

x

tende para -∞,

\frac{5 x}{2 x + 3}

tende para

\frac{5}{2}

A assíntota horizontal é

y = \frac{5}{2}

, pelo que não há assíntota oblíqua

▶Assíntotas:

{x = - \frac{3}{2}; y = \frac{5}{2}}

🖼/draw?f1=%285*x%29%2F%282*x+%2B+3%29&v=x&x2=-3%2F2&f3=5%2F2&b=-11.5&e=8.5&min=0.2875&max=4.3375&dash=2,3