assíntotas de f(x)=((x^2+1))/(2x^2+7)

1) Vamos procurar as assíntotas de

\frac{x^{2} + 1}{2 x^{2} + 7}

, para

x

real

Assíntotas verticais: vamos procurar os valores excluídos, que anulam o denominador. Depois devemos verificar se a curva tende para infinito perto desses valores

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

2 x^{2} + 7 = 0

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥

x^{2} = - \frac{7}{2}

⇥Em ℝ, um quadrado nunca é negativo: nenhum número real tem

- \frac{7}{2}

como quadrado

⇥Solução:

x \in \emptyset

⇥1.2) Vamos começar a divisão euclidiana de

(x^{2} + 1)

por

(2 x^{2} + 7)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{2} + 1$	$\frac{x^{2}}{2 x^{2}}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} + 7) = x^{2} + \frac{7}{2}$	$(x^{2} + 1) - (x^{2} + \frac{7}{2}) = - \frac{5}{2}$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

\frac{1}{2}

O quociente da divisão é a constante

\frac{1}{2}

: a reta a verificar é

y = \frac{1}{2}

Para uma assíntota horizontal, a função deve tender para um valor finito: vamos verificar o limite de

\frac{x^{2} + 1}{2 x^{2} + 7}

nos dois infinitos

Quando

x

tende para +∞,

\frac{x^{2} + 1}{2 x^{2} + 7}

tende para

\frac{1}{2}

; quando

x

tende para -∞,

\frac{x^{2} + 1}{2 x^{2} + 7}

tende para

\frac{1}{2}

A assíntota horizontal é

y = \frac{1}{2}

, pelo que não há assíntota oblíqua

▶Assíntotas:

y = \frac{1}{2}

🖼/draw?f1=%28x%5E2+%2B+1%29%2F%282*x%5E2+%2B+7%29&v=x&f2=1%2F2&b=-10.0&e=10.0&min=0.19444444444444442&max=0.5277777777777778&dash=2