assíntotas de f(x)=(-x^3-5)/(x^2-4)

1) Vamos procurar as assíntotas de

\frac{- x^{3} - 5}{x^{2} - 4}

, para

x

real

Assíntotas verticais: vamos procurar os valores excluídos, que anulam o denominador. Depois devemos verificar se a curva tende para infinito perto desses valores

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - 4 = 0

⇥Os dois números cujo quadrado vale

4

são

-2

2

⇥Soluções obtidas:

x = {-2; 2}

Quando

x

se aproxima de

-2

pela esquerda (valores menores), a função tende para

+∞

; pela direita (valores maiores), tende para

-∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = -2

é uma assíntota vertical

Quando

x

se aproxima de

2

pela esquerda (valores menores), a função tende para

+∞

; pela direita (valores maiores), tende para

-∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = 2

é uma assíntota vertical

⇥1.2) Vamos começar a divisão euclidiana de

(- x^{3} - 5)

por

(x^{2} - 4)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$- x^{3} - 5$	$- \frac{x^{3}}{x^{2}}$	$- x$	$- x \cdot (x^{2} - 4) = - x^{3} + 4 x$	$(- x^{3} - 5) - (- x^{3} + 4 x) = - 4 x - 5$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

- x

A divisão permite escrever

\frac{- x^{3} - 5}{x^{2} - 4} = - x - \frac{4 x + 5}{x^{2} - 4}

: a reta a verificar é

y = - x

Para uma assíntota oblíqua, a diferença entre a função e a reta deve tender para 0: vamos verificar o limite de

- \frac{4 x + 5}{x^{2} - 4}

nos dois infinitos

A diferença tende para

0

em +∞ e para

0

em -∞: a curva aproxima-se da reta nos dois infinitos

A assíntota oblíqua é

y = - x

, pelo que não há assíntota horizontal

▶Assíntotas:

{x = -2; x = 2; y = - x}

🖼/draw?f1=%28-x%5E3+-+5%29%2F%28x%5E2+-+4%29&v=x&x2=-2&x3=2&f4=-x&b=-10.0&e=10.0&min=-12.0&max=12.0&dash=2,3,4