assíntotas de f(x)=(x-2)/(x^2+2x-15)

Vamos procurar as assíntotas de

\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x - 15}

, para

x

real

Assíntotas verticais: vamos procurar os valores excluídos, que anulam o denominador. Depois devemos verificar se a curva tende para infinito perto desses valores

Vamos resolver em

ℝ

x^{2} + 2 x - 15 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = 2

c = -15

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-15)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

Δ = 4 - 4 \cdot (-15)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-15)

4 \cdot 15

4 \cdot (10 + 5)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 5

40 + 20

60

Δ = 4 + 60

ⓘ Partimos de

4

e avançamos

60

na reta numérica:

4 + 60

64

Δ = 64

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{64}

8

pois

8^{2}

64

x_{1} = \frac{- 2 - 8}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 2 - 8

-10

x_{1} = - \frac{10}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{10}{2}

-5

x_{1} = -5

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{64}

8

pois

8^{2}

64

x_{2} = \frac{- 2 + 8}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 2 + 8

6

x_{2} = \frac{6}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{2}

3

x_{2} = 3

Soluções obtidas:

x = {-5; 3}

Quando

x

se aproxima de

-5

pela esquerda (valores menores), a função tende para

-∞

; pela direita (valores maiores), tende para

+∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = -5

é uma assíntota vertical

Quando

x

se aproxima de

3

pela esquerda (valores menores), a função tende para

-∞

; pela direita (valores maiores), tende para

+∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = 3

é uma assíntota vertical

No infinito, o grau do numerador é menor que o do denominador: a reta a verificar é

y = 0

Para uma assíntota horizontal, a função deve tender para um valor finito: vamos verificar o limite de

\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x - 15}

nos dois infinitos

Quando

x

tende para +∞,

\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x - 15}

tende para

0

; quando

x

tende para -∞,

\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x - 15}

tende para

0

A assíntota horizontal é

y = 0

, pelo que não há assíntota oblíqua

▶Assíntotas:

{x = -5; x = 3; y = 0}

🖼/draw?f1=%28x+-+2%29%2F%28x%5E2+%2B+2*x+-+15%29&v=x&x2=-5&x3=3&f4=0&b=-13.0&e=11.0&min=-0.4207815606644494&max=0.44862619488514105&dash=2,3,4