assíntotas de f(x)=(x^2)/(2x^2-2)

1) Vamos procurar as assíntotas de

\frac{x^{2}}{2 x^{2} - 2}

, para

x

real

Assíntotas verticais: vamos procurar os valores excluídos, que anulam o denominador. Depois devemos verificar se a curva tende para infinito perto desses valores

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

2 x^{2} - 2 = 0

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥

x^{2} = 1

⇥Os dois números cujo quadrado vale

1

são

-1

1

⇥Soluções obtidas:

x = {-1; 1}

Quando

x

se aproxima de

-1

pela esquerda (valores menores), a função tende para

+∞

; pela direita (valores maiores), tende para

-∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = -1

é uma assíntota vertical

Quando

x

se aproxima de

1

pela esquerda (valores menores), a função tende para

-∞

; pela direita (valores maiores), tende para

+∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = 1

é uma assíntota vertical

⇥1.2) Vamos começar a divisão euclidiana de

(x^{2})

por

(2 x^{2} - 2)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{2}$	$\frac{x^{2}}{2 x^{2}}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} - 2) = x^{2} - 1$	$x^{2} - (x^{2} - 1) = 1$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

\frac{1}{2}

O quociente da divisão é a constante

\frac{1}{2}

: a reta a verificar é

y = \frac{1}{2}

Para uma assíntota horizontal, a função deve tender para um valor finito: vamos verificar o limite de

\frac{x^{2}}{2 x^{2} - 2}

nos dois infinitos

Quando

x

tende para +∞,

\frac{x^{2}}{2 x^{2} - 2}

tende para

\frac{1}{2}

; quando

x

tende para -∞,

\frac{x^{2}}{2 x^{2} - 2}

tende para

\frac{1}{2}

A assíntota horizontal é

y = \frac{1}{2}

, pelo que não há assíntota oblíqua

▶Assíntotas:

{x = -1; x = 1; y = \frac{1}{2}}

🖼/draw?f1=x%5E2%2F%282*x%5E2+-+2%29&v=x&x2=-1&x3=1&f4=1%2F2&b=-10.0&e=10.0&min=0.49047619047619045&max=0.6047619047619047&dash=2,3,4