assíntotas de f(x)=(x^2+9)/(x^2-9)

1) Vamos procurar as assíntotas de

\frac{x^{2} + 9}{x^{2} - 9}

, para

x

real

Assíntotas verticais: vamos procurar os valores excluídos, que anulam o denominador. Depois devemos verificar se a curva tende para infinito perto desses valores

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - 9 = 0

⇥Os dois números cujo quadrado vale

9

são

-3

3

⇥Soluções encontradas:

x = {-3; 3}

Quando

x

se aproxima de

-3

pela esquerda (valores menores), a função tende para

+∞

; pela direita (valores maiores), tende para

-∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = -3

é uma assíntota vertical

Quando

x

se aproxima de

3

pela esquerda (valores menores), a função tende para

-∞

; pela direita (valores maiores), tende para

+∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = 3

é uma assíntota vertical

⇥1.2) Vamos começar a divisão euclidiana de

(x^{2} + 9)

por

(x^{2} - 9)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{2} + 9$	$\frac{x^{2}}{x^{2}}$	$1$	$x^{2} - 9 = x^{2} - 9$	$(x^{2} + 9) - (x^{2} - 9) = 18$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

1

O quociente da divisão é a constante

1

: a reta a verificar é

y = 1

Para uma assíntota horizontal, a função deve tender para um valor finito: vamos verificar o limite de

\frac{x^{2} + 9}{x^{2} - 9}

nos dois infinitos

Quando

x

tende para +∞,

\frac{x^{2} + 9}{x^{2} - 9}

tende para

1

; quando

x

tende para -∞,

\frac{x^{2} + 9}{x^{2} - 9}

tende para

1

A assíntota horizontal é

y = 1

, pelo que não há assíntota oblíqua

▶Assíntotas:

{x = -3; x = 3; y = 1}

🖼/draw?f1=%28x%5E2+%2B+9%29%2F%28x%5E2+-+9%29&v=x&x2=-3&x3=3&f4=1&b=-10.0&e=10.0&min=-3.12&max=3.12&dash=2,3,4