assíntotas de y=(3x^2-3x-2)/(x-1)

1) Vamos procurar as assíntotas de

\frac{3 x^{2} - 3 x - 2}{x - 1}

, para

x

real

Assíntotas verticais: vamos procurar os valores excluídos, que anulam o denominador. Depois devemos verificar se a curva tende para infinito perto desses valores

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

x - 1 = 0

⇥ⓘ Somamos

1

a ambos os membros

⇥Solução obtida:

x = 1

Quando

x

se aproxima de

1

pela esquerda (valores menores), a função tende para

+∞

; pela direita (valores maiores), tende para

-∞

A função tende para infinito pelo menos de um lado: a reta

x = 1

é uma assíntota vertical

⇥1.2) Vamos calcular o quociente e o resto de

(3 x^{2} - 3 x - 2)

por

(x - 1)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$3 x^{2} - 3 x - 2$	$\frac{3 x^{2}}{x}$	$3 x$	$3 x \cdot (x - 1) = 3 x^{2} - 3 x$	$(3 x^{2} - 3 x - 2) - (3 x^{2} - 3 x) = -2$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

3 x

A divisão permite escrever

\frac{3 x^{2} - 3 x - 2}{x - 1} = 3 x + \frac{2}{- x + 1}

: a reta a verificar é

y = 3 x

Para uma assíntota oblíqua, a diferença entre a função e a reta deve tender para 0: vamos verificar o limite de

\frac{2}{- x + 1}

nos dois infinitos

A diferença tende para

0

em +∞ e para

0

em -∞: a curva aproxima-se da reta nos dois infinitos

A assíntota oblíqua é

y = 3 x

, pelo que não há assíntota horizontal

▶Assíntotas:

{x = 1; y = 3 x}

🖼/draw?f1=%283*x%5E2+-+3*x+-+2%29%2F%28x+-+1%29&v=x&x2=1&f3=3*x&b=-9.0&e=11.0&min=-33.0&max=39.0&dash=2,3