|10x-6|<= |2x+2| — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

| 10 x - 6 | \leq | 2 x + 2 |

Ambos os membros são positivos ou nulos. Compará-los equivale a comparar os seus quadrados, com o mesmo sinal de comparação

2) Vamos resolver em

ℝ

{(10 x - 6)}^{2} \leq {(2 x + 2)}^{2}

{(10 x - 6)}^{2} - {(2 x + 2)}^{2} \leq 0

Para

{(10 x - 6)}^{2} - {(2 x + 2)}^{2}

, reconhecemos uma diferença de quadrados:

{(10 x - 6)}^{2} - {(2 x + 2)}^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, com

a = 10 x - 6

b = 2 x + 2

Podemos fatorizar a expressão

{(10 x - 6)}^{2} - {(2 x + 2)}^{2}

como

((10 x - 6) - (2 x + 2)) \cdot ((10 x - 6) + (2 x + 2))

3) Vamos resolver em

ℝ

((10 x - 6) - (2 x + 2)) \cdot ((10 x - 6) + (2 x + 2)) \leq 0

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 x + 2)

- 2 x - 2

■Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

- 6 + 2

-4

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

10 x + 2 x

12 x

(10 x

- 6

- 2 x

- 2) \cdot (12 x - 4) \leq 0

ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

- 6 - 2

-8

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

10 x - 2 x

8 x

(8 x - 8) \cdot (12 x - 4) \leq 0

Estudamos o sinal de cada fator do produto

⇥A expressão

8 x - 8

anula-se em:

⇥

x = \frac{8}{8}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

8

, o seu máximo divisor comum:

\frac{8}{8}

1

⇥

x = 1

⇥Como o seu coeficiente de

x

8

, é positivo, é negativa antes e positiva depois de

1

⇥A expressão

12 x - 4

anula-se em:

⇥

x = \frac{4}{12}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

\frac{4}{12}

\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4}

\frac{1}{3}

⇥

x = \frac{1}{3}

⇥Como o seu coeficiente de

x

12

, é positivo, é negativa antes e positiva depois de

\frac{1}{3}

4) Vamos construir o quadro de sinais:

▶Solução obtida:

x \in [\frac{1}{3}; 1]

5) O valor numérico de:

x \in [\frac{1}{3}; 1]

é:

▷

x \in [\approx 0,3333; 1]