|2*x-1|+3=|5-x|+4 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

| 2 x - 1 | + 3 = | 5 - x | + 4

| 2 x - 1 |

+ 3

- | 5 - x |

- 4 = 0

ⓘ Partimos de

3

e recuamos

4

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

3 - 4

-1

| 2 x - 1 | - 1 - | 5 - x | = 0

Os argumentos dos valores absolutos anulam-se em

{\frac{1}{2}; 5}

. Dividimos ℝ nesses pontos e resolvemos em cada intervalo

] -∞; \frac{1}{2}]

2 x - 1 \leq 0

, pelo que

| 2 x - 1 | = - (2 x - 1)

;

5 - x \geq 0

, pelo que

| 5 - x | = 5 - x

] -∞; \frac{1}{2}]

, a equação passa a ser

- (2 x - 1) - 1 - (5 - x) = 0

2) Vamos resolver em

ℝ

- (2 x - 1) - 1 - (5 - x) = 0

- 2 x

+ 1

- 1

- 5

+ x = 0

ⓘ Partimos de

1

e recuamos

1

na reta numérica, até ao zero:

1 - 1

0

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 2 x + x

- x

- x + 0 - 5 = 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 5

-5

- x - 5 = 0

ⓘ Somamos

x

a ambos os membros

-5 = x

Solução obtida:

x = -5

Como

-5 \leq \frac{1}{2}

, podemos manter a solução

-5

[\frac{1}{2}; 5]

2 x - 1 \geq 0

, pelo que

| 2 x - 1 | = 2 x - 1

;

5 - x \geq 0

, pelo que

| 5 - x | = 5 - x

[\frac{1}{2}; 5]

, a equação passa a ser

(2 x - 1) - 1 - (5 - x) = 0

3) Vamos resolver em

ℝ

(2 x - 1) - 1 - (5 - x) = 0

ⓘ Partimos de

-1

e recuamos mais

1

na reta numérica, afastando-nos do zero:

- 1 - 1

-2

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (5 - x)

- 5 + x

2 x

- 2

- 5

+ x = 0

ⓘ Partimos de

-2

e recuamos mais

5

na reta numérica, afastando-nos do zero:

- 2 - 5

-7

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

2 x + x

3 x

3 x - 7 = 0

ⓘ Somamos

7

a ambos os membros

3 x = 7

ⓘ Dividimos ambos os membros por

3

Solução encontrada:

x = \frac{7}{3}

Como

\frac{7}{3} \in [\frac{1}{2}; 5]

, podemos manter a solução

\frac{7}{3}

[5; +∞ [

2 x - 1 \geq 0

, pelo que

| 2 x - 1 | = 2 x - 1

;

5 - x \leq 0

, pelo que

| 5 - x | = - (5 - x)

[5; +∞ [

, a equação passa a ser

(2 x - 1) - 1 + (5 - x) = 0

4) Vamos resolver em

ℝ

(2 x - 1) - 1 + (5 - x) = 0

ⓘ Partimos de

-1

e recuamos mais

1

na reta numérica, afastando-nos do zero:

- 1 - 1

-2

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

2 x - x

x

x - 2 + 5 = 0

ⓘ Partimos de

-2

e avançamos

5

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 2 + 5

3

x + 3 = 0

ⓘ Subtraímos

3

a ambos os membros

Solução obtida:

x = -3

Como

-3 \notin [5; +∞ [

, não podemos manter a solução

-3

▶Soluções obtidas:

x = {-5; \frac{7}{3}}

5) O valor numérico de:

x = {-5; \frac{7}{3}}

vale:

▷

x = {-5; \approx 2,3333}