|2x-1|+3=|5-x| — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

| 2 x - 1 | + 3 = | 5 - x |

Os argumentos dos valores absolutos anulam-se em

{\frac{1}{2}; 5}

. Dividimos ℝ nesses pontos e resolvemos em cada intervalo

] -∞; \frac{1}{2}]

2 x - 1 \leq 0

, pelo que

| 2 x - 1 | = - (2 x - 1)

;

5 - x \geq 0

, pelo que

| 5 - x | = 5 - x

] -∞; \frac{1}{2}]

, a equação passa a ser

- (2 x - 1) + 3 = 5 - x

2) Vamos resolver em

ℝ

- (2 x - 1) + 3 = 5 - x

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 x - 1)

- 2 x + 1

- 2 x + 1 + 3 = 5 - x

ⓘ Partimos de

1

e avançamos

3

na reta numérica:

1 + 3

4

- 2 x + 4 = 5 - x

ⓘ Agrupamos os termos em

x

à direita e os restantes à esquerda

4 - 5 = - x + 2 x

ⓘ Partimos de

4

e recuamos

5

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

4 - 5

-1

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- x + 2 x

x

-1 = x

Solução obtida:

x = -1

Como

-1 \leq \frac{1}{2}

, podemos manter a solução

-1

[\frac{1}{2}; 5]

2 x - 1 \geq 0

, pelo que

| 2 x - 1 | = 2 x - 1

;

5 - x \geq 0

, pelo que

| 5 - x | = 5 - x

[\frac{1}{2}; 5]

, a equação passa a ser

(2 x - 1) + 3 = 5 - x

3) Vamos resolver em

ℝ

(2 x - 1) + 3 = 5 - x

ⓘ Partimos de

-1

e avançamos

3

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 1 + 3

2

2 x + 2 = 5 - x

ⓘ Subtraímos

2

a ambos os membros■Partimos de

5

e recuamos

2

na reta numérica:

5 - 2

3

2 x = 3 - x

ⓘ Somamos

x

a ambos os membros

2 x + x = 3

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

2 x + x

3 x

3 x = 3

ⓘ Dividimos ambos os membros por

3

x = \frac{3}{3}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

3

, o seu máximo divisor comum:

\frac{3}{3}

1

Solução obtida:

x = 1

Como

1 \in [\frac{1}{2}; 5]

, podemos manter a solução

1

[5; +∞ [

2 x - 1 \geq 0

, pelo que

| 2 x - 1 | = 2 x - 1

;

5 - x \leq 0

, pelo que

| 5 - x | = - (5 - x)

[5; +∞ [

, a equação passa a ser

(2 x - 1) + 3 = - (5 - x)

4) Vamos resolver em

ℝ

(2 x - 1) + 3 = - (5 - x)

ⓘ Partimos de

-1

e avançamos

3

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 1 + 3

2

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (5 - x)

- 5 + x

2 x + 2 = - 5 + x

ⓘ Subtraímos

2

a ambos os membros■Partimos de

-5

e recuamos mais

2

na reta numérica, afastando-nos do zero:

- 5 - 2

-7

2 x = - 7 + x

ⓘ Subtraímos

x

a ambos os membros

2 x - x = -7

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

2 x - x

x

Solução encontrada:

x = -7

Como

-7 \notin [5; +∞ [

, não podemos manter a solução

-7

▶Soluções encontradas:

x = {-1; 1}