|x+3|<2|x+5| — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

| x + 3 | < 2 \cdot | x + 5 |

Ambos os membros são positivos ou nulos. Compará-los equivale a comparar os seus quadrados, com o mesmo sinal de comparação

2) Vamos resolver em

ℝ

{(x + 3)}^{2} < {(2 \cdot (x + 5))}^{2}

{(x + 3)}^{2} - {(2 \cdot (x + 5))}^{2} < 0

Para

{(x + 3)}^{2} - {(2 \cdot (x + 5))}^{2}

, reconhecemos uma diferença de quadrados:

{(x + 3)}^{2} - {(2 \cdot (x + 5))}^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, com

a = x + 3

b = 2 \cdot (x + 5)

Podemos fatorizar a expressão

{(x + 3)}^{2} - {(2 \cdot (x + 5))}^{2}

como

((x + 3) - 2 \cdot (x + 5)) \cdot ((x + 3) + 2 \cdot (x + 5))

3) Vamos resolver em

ℝ

((x + 3) - 2 \cdot (x + 5)) \cdot ((x + 3) + 2 \cdot (x + 5)) < 0

(x + 3 - 2 \cdot (x + 5)) \cdot (x + 3 + 2 \cdot (x + 5)) < 0

Estudamos o sinal de cada fator do produto

⇥3.1) Vamos estudar o sinal de

x + 3 - 2 \cdot (x + 5)

alargando a comparação a ≤ e resolvendo em

ℝ

x + 3 - 2 \cdot (x + 5) \leq 0

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- 2 \cdot (x + 5)

- (2 x + 10)

⇥

x + 3 - (2 x + 10) \leq 0

⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 x + 10)

- 2 x - 10

⇥

x

+ 3

- 2 x

- 10 \leq 0

⇥ⓘ Partimos de

3

e recuamos

10

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

3 - 10

-7

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x - 2 x

- x

⇥

- x - 7 \leq 0

⇥ⓘ Somamos

x

a ambos os membros

⇥

-7 \leq x

⇥Solução obtida:

x \geq -7

⇥Portanto, a expressão

x + 3 - 2 \cdot (x + 5)

é negativa ou nula em

[-7; +∞ [

e positiva nos restantes pontos

⇥3.2) Vamos estudar o sinal de

x + 3 + 2 \cdot (x + 5)

alargando a comparação a ≤ e resolvendo em

ℝ

x + 3 + 2 \cdot (x + 5) \leq 0

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

2 \cdot (x + 5)

2 x + 10

⇥

x

+ 3

+ 2 x

+ 10 \leq 0

⇥ⓘ Partimos de

3

e avançamos

10

na reta numérica:

3 + 10

13

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x + 2 x

3 x

⇥

3 x + 13 \leq 0

⇥

3 x \leq -13

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

3

⇥Solução encontrada:

x \leq - \frac{13}{3}

⇥Portanto, a expressão

x + 3 + 2 \cdot (x + 5)

é negativa ou nula em

] -∞; - \frac{13}{3}]

e positiva nos restantes pontos

4) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$-7$		$- \frac{13}{3}$		$+∞$
$x + 3 - 2 \cdot (x + 5)$		+	0	-		-
$x + 3 + 2 \cdot (x + 5)$		-		-	0	+
$\| x + 3 \| - 2 \cdot \| x + 5 \|$		-	0	+	0	-

▶Solução obtida:

x \in] -∞; -7 [\cup] - \frac{13}{3}; +∞ [

5) O valor numérico de:

x \in] -∞; -7 [\cup] - \frac{13}{3}; +∞ [

vale:

▷

x \in] -∞; -7 [\cup] \approx -4,3333; +∞ [