|x-1|+|x+1|=2 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

| x - 1 | + | x + 1 | = 2

Os argumentos dos valores absolutos anulam-se em

{-1; 1}

. Dividimos ℝ nesses pontos e resolvemos em cada intervalo

] -∞; -1]

x - 1 \leq 0

, pelo que

| x - 1 | = - (x - 1)

;

x + 1 \leq 0

, pelo que

| x + 1 | = - (x + 1)

] -∞; -1]

, a equação passa a ser

- (x - 1) - (x + 1) = 2

2) Vamos resolver em

ℝ

- (x - 1) - (x + 1) = 2

- x

+ 1

- x

- 1 = 2

ⓘ Partimos de

1

e recuamos

1

na reta numérica, até ao zero:

1 - 1

0

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- x - x

-2 x

- 2 x + 0 = 2

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

- 2 x + 0

-2 x

- 2 x = 2

ⓘ Dividimos ambos os membros por

-2

x = \frac{2}{-2}

ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{2}{-2}

- \frac{2}{2}

x = - \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{2}

-1

Solução encontrada:

x = -1

Como

-1 \leq -1

, podemos manter a solução

-1

[-1; 1]

x - 1 \leq 0

, pelo que

| x - 1 | = - (x - 1)

;

x + 1 \geq 0

, pelo que

| x + 1 | = x + 1

[-1; 1]

, a equação passa a ser

- (x - 1) + (x + 1) = 2

3) Vamos resolver em

ℝ

- (x - 1) + (x + 1) = 2

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (x - 1)

- x + 1

- x

+ 1

+ x

+ 1 = 2

ⓘ Partimos de

1

e avançamos

1

na reta numérica:

1 + 1

2

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- x + x

0

0 + 2 = 2

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 2

2

2 = 2

ⓘ Subtraímos

2

a ambos os membros

2 - 2 = 0

ⓘ Partimos de

2

e recuamos

2

na reta numérica, até ao zero:

2 - 2

0

0 = 0

Solução obtida:

x \in ℝ

A equação é verdadeira para todo

x

[-1; 1]

: mantemos todo o intervalo

[1; +∞ [

x - 1 \geq 0

, pelo que

| x - 1 | = x - 1

;

x + 1 \geq 0

, pelo que

| x + 1 | = x + 1

[1; +∞ [

, a equação passa a ser

(x - 1) + (x + 1) = 2

4) Vamos resolver em

ℝ

(x - 1) + (x + 1) = 2

ⓘ Partimos de

-1

e avançamos

1

na reta numérica, até ao zero:

- 1 + 1

0

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x + x

2 x

2 x + 0 = 2

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

2 x + 0

2 x

2 x = 2

ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

x = \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

Solução encontrada:

x = 1

Como

1 \geq 1

, podemos manter a solução

1

▶Solução obtida:

x \in [-1; 1]