calcula a segunda derivada de ln(x^5)

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\ln (x^{5}))

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

x^{5}

ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x^{5}))

\frac{d}{d x} (x^{5}) \cdot \frac{1}{x^{5}}

\frac{d}{d x} (x^{5}) \cdot \frac{1}{x^{5}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (x^{5}) \cdot \frac{1}{x^{5}}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{5}) \cdot 1}{x^{5}}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{5})}{x^{5}}

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{5})

5 x^{4}

\frac{5 x^{4}}{x^{5}}

ⓘ O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

\frac{5 x^{4}}{x^{5}}

\frac{5}{x}

\frac{5}{x}

Para facilitar a derivação, transformamos a expressão

\frac{5}{x}

5 x^{-1}

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (5 x^{-1})

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

x

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (5 x^{-1})

5 \cdot \frac{d}{d x} (x^{-1})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{-1})

-1 \cdot x^{-2}

5 \cdot (-1 \cdot x^{-2})

ⓘ Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

5 \cdot (-1)

-5

-5 x^{-2}

ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

- 5 x^{-2}

- \frac{5}{x^{2}}

▶Derivada:

- \frac{5}{x^{2}}