como resolver y=1/sqrt(1-x) — solução passo a passo

A expressão

y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}

contém várias variáveis: escolhemos a variável x para a resolução

1) Vamos resolver em

ℝ

y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}

\frac{1}{\sqrt{1 - x}} = y

Multiplicamos ambos os membros por

\sqrt{1 - x}

, não nulo para que as frações estejam definidas

\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \sqrt{1 - x} = y \cdot \sqrt{1 - x}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \sqrt{1 - x}

\frac{1 \cdot \sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 - x}}

\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 - x}}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

\sqrt{1 - x}

\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 - x}}

1

1 = y \cdot \sqrt{1 - x}

y \cdot \sqrt{1 - x} = 1

Isolamos a raiz:

\sqrt{1 - x} = \frac{1}{y}

. Por convenção, a raiz quadrada é sempre positiva ou nula; elevamos ambos os membros ao quadrado, desde que

\frac{1}{y} \geq 0

1 - x = {(\frac{1}{y})}^{2}

ⓘ Agrupamos os termos em

x

à direita e os restantes à esquerda

1 - {(\frac{1}{y})}^{2} = x

ⓘ A potência de um quociente é o quociente das potências,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{1}{y})}^{2}

\frac{1}{y^{2}}

1 - \frac{1}{y^{2}} = x

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = 1 - \frac{1}{y^{2}}

2) Vamos resolver para y:

\frac{1}{y} \geq 0

⇥A expressão

y

anula-se em

y = 0

(valor excluído) e é negativa antes e positiva depois

3) Vamos construir o quadro de sinais:

Candidatos, sujeitos ao domínio:

y > 0

4) Vamos determinar o domínio de

y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}

Para que a expressão

y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}

esteja definida, é necessário:

1 - x > 0

ⓘ Somamos

x

a ambos os membros

1 > x

Restrições do domínio:

x < 1

▶Solução:

{x = 1 - \frac{1}{y^{2}}; y > 0}

⊕