conjunto imagem de (3x+4)/(x^2-25)

1) Vamos procurar os valores reais que

\frac{3 x + 4}{x^{2} - 25}

assume através do seu quadro de variação

⇥Vamos estudar a variação de

f (x)

: procuremos primeiro onde se anula a sua derivada

f^{'} (x) = - \frac{3 x^{2} + 8 x + 75}{{(x^{2} - 25)}^{2}}

⇥Vamos resolver em

ℝ

- \frac{3 x^{2} + 8 x + 75}{{(x^{2} - 25)}^{2}} = 0

⇥Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

- (3 x^{2} + 8 x + 75) = 0

⇥⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (3 x^{2} + 8 x + 75)

- 3 x^{2} - 8 x - 75

⇥⇥

- 3 x^{2} - 8 x - 75

⇥⇥

- 3 x^{2} - 8 x - 75 = 0

⇥⇥Como

-1 \neq 0

, dividimos ambos os membros por

-1

3 x^{2} + 8 x + 75 = 0

⇥⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 3

b = 8

c = 75

⇥⇥

Δ = 8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 75

⇥⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

8^{2}

8 \cdot 8

64

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

⇥⇥

Δ = 64 - 12 \cdot 75

⇥⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

12 \cdot 75

(10 + 2) \cdot 75

10 \cdot 75 + 2 \cdot 75

750 + 150

900

⇥⇥

Δ = 64 - 900

⇥⇥ⓘ Partimos de

64

e recuamos

900

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

64 - 900

-836

⇥⇥

Δ = -836

⇥⇥Como

Δ < 0

, a equação não tem raízes reais.

⇥⇥Solução:

x \in \emptyset

⇥⇥1.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

{(x^{2} - 25)}^{2} \neq 0

⇥⇥De

{(x^{2} - 25)}^{2} \neq 0

deduzimos:

x^{2} - 25 \neq 0

⇥⇥Os dois números cujo quadrado vale

25

são

-5

5

⇥⇥Soluções obtidas:

x \notin {-5; 5}

⇥ Para que a expressão

- \frac{3 x^{2} + 8 x + 75}{{(x^{2} - 25)}^{2}}

esteja definida, é necessário:

{(x^{2} - 25)}^{2} \neq 0

⇥

{(x^{2} - 25)}^{2} \neq 0

já foi resolvido:

x \notin {-5; 5}

⇥Restrições do domínio:

x \in ℝ \ {-5; 5}

⇥

f^{'} (x)

não se anula no domínio de

f

⇥Formada por funções usuais,

f^{'} (x)

é contínua onde está definida: em cada intervalo onde não se anula, mantém o sinal do seu valor num ponto

⇥

f^{'} (-6) = - \frac{135}{121}

< 0:

f

é decrescente em

] -∞; -5 [

⇥

f^{'} (0) = - \frac{3}{25}

< 0:

f

é decrescente em

] -5; 5 [

⇥

f^{'} (6) = - \frac{21}{11}

< 0:

f

é decrescente em

] 5; +∞ [

⇥Vamos calcular os valores de

f

nos extremos do quadro, ou os seus limites nos extremos infinitos ou excluídos

⇥Quando

x

tende para

-∞

f (x)

tende para

0

⇥Quando

x

se aproxima de

-5

pela esquerda,

f (x)

tende para

-∞

; pela direita, para

+∞

⇥Quando

x

se aproxima de

5

pela esquerda,

f (x)

tende para

-∞

; pela direita, para

+∞

⇥Quando

x

tende para

+∞

f (x)

tende para

0

⇥Vamos construir o quadro de variação:

⇥

$x$	$-∞$		$-5$		$5$		$+∞$
$f^{'} (x)$		-	‖	-	‖	-
$f (x)$	$0$	↘	$-∞$ ‖ $+∞$	↘	$-∞$ ‖ $+∞$	↘	$0$

⇥Portanto,

f

é decrescente em

] -∞; -5 [

e em

] -5; 5 [

e em

] 5; +∞ [

] -∞; -5 [

f

é contínua: assume todos os valores de

] -∞; 0 [

] -5; 5 [

f

é contínua: assume todos os valores de

ℝ

] 5; +∞ [

f

é contínua: assume todos os valores de

] 0; +∞ [

▶Conjunto imagem:

ℝ