conjunto imagem de (3x-2)/(x+5) — solução passo a passo

1) Vamos procurar os valores reais que

\frac{3 x - 2}{x + 5}

assume, para

x

real

⇥Vamos determinar o domínio de

\frac{3 x - 2}{x + 5}

⇥ Para que a expressão

\frac{3 x - 2}{x + 5}

esteja definida, é necessário:

x + 5 \neq 0

⇥ⓘ Subtraímos

5

a ambos os membros

⇥Solução encontrada:

x \neq -5

O domínio de partida é

x \neq -5

2) Fazemos

y = \frac{3 x - 2}{x + 5}

e resolvemos para

x

, para exprimir a entrada em função do valor atingido

⇥2.1) Vamos resolver em

ℝ

y = \frac{3 x - 2}{x + 5}

⇥

\frac{3 x - 2}{x + 5} = y

⇥Multiplicamos ambos os membros por

x + 5

, não nulo para que as frações estejam definidas

⇥

\frac{3 x - 2}{x + 5} \cdot (x + 5) = y \cdot (x + 5)

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{3 x - 2}{x + 5} \cdot (x + 5)

\frac{(3 x - 2) \cdot (x + 5)}{x + 5}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

x + 5

\frac{(3 x - 2) \cdot (x + 5)}{x + 5}

3 x - 2

⇥

3 x - 2 = y \cdot (x + 5)

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

y \cdot (x + 5)

y x + y \cdot 5

⇥

3 x - 2 = y x + y \cdot 5

⇥ⓘ Somamos

2

a ambos os membros

⇥

3 x = y x + y \cdot 5 + 2

⇥

3 x - y x = y \cdot 5 + 2

⇥

(3 - y) \cdot x = y \cdot 5 + 2

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

(3 - y)

, que deve ser não nulo:

y \neq 3

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = \frac{5 y + 2}{3 - y}

⇥2.2) Vamos determinar o domínio de

y = \frac{3 x - 2}{x + 5}

⇥ Para que a expressão

\frac{3 x - 2}{x + 5}

esteja definida, é necessário:

x + 5 \neq 0

⇥ⓘ Subtraímos

5

a ambos os membros

⇥Restrições do domínio:

x \neq -5

3) A equação tem solução em

x

exatamente quando

y \neq 3

: esses são os valores atingidos

▶Conjunto imagem:

ℝ \ {3}