conjunto imagem de (-5)/(2x+7) — solução passo a passo

1) Vamos procurar os valores reais que

- \frac{5}{2 x + 7}

assume, para

x

real

⇥Vamos procurar o domínio de

- \frac{5}{2 x + 7}

⇥ Para que a expressão

- \frac{5}{2 x + 7}

esteja definida, é necessário:

2 x + 7 \neq 0

⇥ⓘ Subtraímos

7

a ambos os membros

⇥

2 x \neq -7

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥Solução encontrada:

x \neq - \frac{7}{2}

O domínio de partida é

x \neq - \frac{7}{2}

2) Fazemos

y = - \frac{5}{2 x + 7}

e resolvemos para

x

, para exprimir a entrada em função do valor atingido

⇥2.1) Vamos resolver em

ℝ

y = - \frac{5}{2 x + 7}

⇥

- \frac{5}{2 x + 7} = y

⇥Multiplicamos ambos os membros por

2 x + 7

, não nulo para que as frações estejam definidas

⇥

- \frac{5}{2 x + 7} \cdot (2 x + 7) = y \cdot (2 x + 7)

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

- \frac{5}{2 x + 7} \cdot (2 x + 7)

- \frac{5 \cdot (2 x + 7)}{2 x + 7}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

- \frac{5 \cdot (2 x + 7)}{2 x + 7}

-5

⇥

-5 = y \cdot (2 x + 7)

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

y \cdot (2 x + 7)

y \cdot 2 x + y \cdot 7

⇥

-5 = y \cdot 2 x + y \cdot 7

⇥

y \cdot 2 x + y \cdot 7 = -5

⇥

y \cdot 2 x = - 5 - y \cdot 7

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

y \cdot 2

, que deve ser não nulo:

y \neq 0

⇥

x = \frac{- 5 - y \cdot 7}{y \cdot 2}

⇥ⓘ Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 5 - y \cdot 7

- (5 + y \cdot 7)

⇥

x = - \frac{5 + y \cdot 7}{y \cdot 2}

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = - \frac{7 y + 5}{2 y}

⇥2.2) Vamos procurar o domínio de

y = - \frac{5}{2 x + 7}

⇥ Para que a expressão

- \frac{5}{2 x + 7}

esteja definida, é necessário:

2 x + 7 \neq 0

⇥ⓘ Subtraímos

7

a ambos os membros

⇥

2 x \neq -7

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥Restrições do domínio:

x \neq - \frac{7}{2}

3) A equação tem solução em

x

exatamente quando

y \neq 0

: esses são os valores atingidos

▶Conjunto imagem:

ℝ \ {0}