conjunto imagem de e^x-1 — solução passo a passo

Vamos procurar os valores reais que

e^{x} - 1

assume através do seu quadro de variação

⇥Vamos estudar a variação de

f (x)

: procuremos primeiro onde se anula a sua derivada

f^{'} (x) = e^{x}

⇥Vamos resolver em

ℝ

e^{x} = 0

⇥Em ℝ, a função exponencial é estritamente positiva:

e^{x} > 0

, pelo que

e^{x} = 0

não tem solução

⇥Solução:

x \in \emptyset

⇥

f^{'} (x)

não se anula no domínio de

f

⇥Formada por funções usuais,

f^{'} (x)

é contínua onde está definida: em cada intervalo onde não se anula, mantém o sinal do seu valor num ponto

⇥

f^{'} (0) = 1

> 0:

f

é crescente em

ℝ

⇥Vamos calcular os valores de

f

nos extremos do quadro, ou os seus limites nos extremos infinitos ou excluídos

⇥Quando

x

tende para

-∞

f (x)

tende para

-1

⇥Quando

x

tende para

+∞

f (x)

tende para

+∞

⇥Vamos construir o quadro de variação:

⇥

⇥Portanto,

f

é crescente em

ℝ

ℝ

f

é contínua: assume todos os valores de

] -1; +∞ [

▶Conjunto imagem:

] -1; +∞ [