conjunto imagem de f(x)=1/(x^2-1)

1) Vamos procurar os valores reais que

\frac{1}{x^{2} - 1}

assume através do seu quadro de variação

⇥Vamos estudar a variação de

f (x)

: procuremos primeiro onde se anula a sua derivada

f^{'} (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

⇥Vamos resolver em

ℝ

- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} = 0

⇥Um quociente é nulo se e só se o numerador for nulo e o denominador não nulo: igualamos o numerador a 0 e resolvemos

⇥⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

- 2 x = 0

⇥⇥Simplificamos a expressão por

-2

⇥⇥⇥Vamos resolver em

ℝ

x = 0

⇥⇥⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = 0

⇥⇥1.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

{(x^{2} - 1)}^{2} \neq 0

⇥⇥De

{(x^{2} - 1)}^{2} \neq 0

deduzimos:

x^{2} - 1 \neq 0

⇥⇥Os dois números cujo quadrado vale

1

são

-1

1

⇥⇥Soluções obtidas:

x \notin {-1; 1}

⇥ Para que a expressão

- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

esteja definida, é necessário:

{(x^{2} - 1)}^{2} \neq 0

⇥

{(x^{2} - 1)}^{2} \neq 0

já foi resolvido:

x \notin {-1; 1}

⇥Restrições do domínio:

x \in ℝ \ {-1; 1}

⇥

f^{'} (x)

anula-se em

x = 0

⇥Formada por funções usuais,

f^{'} (x)

é contínua onde está definida: em cada intervalo onde não se anula, mantém o sinal do seu valor num ponto

⇥

f^{'} (-2) = \frac{4}{9}

> 0:

f

é crescente em

] -∞; -1 [

⇥

f^{'} (- \frac{1}{2}) = \frac{16}{9}

> 0:

f

é crescente em

] -1; 0 [

⇥

f^{'} (\frac{1}{2}) = - \frac{16}{9}

< 0:

f

é decrescente em

] 0; 1 [

⇥

f^{'} (2) = - \frac{4}{9}

< 0:

f

é decrescente em

] 1; +∞ [

⇥Vamos calcular os valores de

f

nos extremos do quadro, ou os seus limites nos extremos infinitos ou excluídos

⇥Quando

x

tende para

-∞

f (x)

tende para

0

⇥Quando

x

se aproxima de

-1

pela esquerda,

f (x)

tende para

+∞

; pela direita, para

-∞

⇥

f (0) = \frac{1}{0^{2} - 1} = -1

⇥Quando

x

se aproxima de

1

pela esquerda,

f (x)

tende para

-∞

; pela direita, para

+∞

⇥Quando

x

tende para

+∞

f (x)

tende para

0

⇥Vamos construir o quadro de variação:

⇥

$x$	$-∞$		$-1$		$0$		$1$		$+∞$
$f^{'} (x)$		+	‖	+	$0$	-	‖	-
$f (x)$	$0$	↗	$+∞$ ‖ $-∞$	↗	$-1$	↘	$-∞$ ‖ $+∞$	↘	$0$

⇥Portanto,

f

é crescente em

] -∞; -1 [

e em

] -1; 0]

e decrescente em

[0; 1 [

e em

] 1; +∞ [

] -∞; -1 [

f

é contínua: assume todos os valores de

] 0; +∞ [

] -1; 1 [

f

é contínua: assume todos os valores de

] -∞; -1]

] 1; +∞ [

f

é contínua: assume todos os valores de

] 0; +∞ [

▶Conjunto imagem:

] -∞; -1] \cup] 0; +∞ [