conjunto imagem de f(x)=4/(x-5) — solução passo a passo

1) Vamos procurar os valores reais que

\frac{4}{x - 5}

assume, para

x

real

⇥Vamos determinar o domínio de

\frac{4}{x - 5}

⇥ Para que a expressão

\frac{4}{x - 5}

esteja definida, é necessário:

x - 5 \neq 0

⇥ⓘ Somamos

5

a ambos os membros

⇥Solução encontrada:

x \neq 5

O domínio de partida é

x \neq 5

2) Fazemos

y = \frac{4}{x - 5}

e resolvemos para

x

, para exprimir a entrada em função do valor atingido

⇥2.1) Vamos resolver em

ℝ

y = \frac{4}{x - 5}

⇥

\frac{4}{x - 5} = y

⇥Multiplicamos ambos os membros por

x - 5

, não nulo para que as frações estejam definidas

⇥

\frac{4}{x - 5} \cdot (x - 5) = y \cdot (x - 5)

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{4}{x - 5} \cdot (x - 5)

\frac{4 \cdot (x - 5)}{x - 5}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

x - 5

\frac{4 \cdot (x - 5)}{x - 5}

4

⇥

4 = y \cdot (x - 5)

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

y \cdot (x - 5)

y x + y \cdot (-5)

⇥

4 = y x + y \cdot (-5)

⇥ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

y \cdot (-5)

- 5 y

⇥

4 = y x - 5 y

⇥

y x - 5 y = 4

⇥

y x = 4 + 5 y

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

y

, que deve ser não nulo:

y \neq 0

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = \frac{5 y + 4}{y}

⇥2.2) Vamos procurar o domínio de

y = \frac{4}{x - 5}

⇥ Para que a expressão

\frac{4}{x - 5}

esteja definida, é necessário:

x - 5 \neq 0

⇥ⓘ Somamos

5

a ambos os membros

⇥Restrições do domínio:

x \neq 5

3) A equação tem solução em

x

exatamente quando

y \neq 0

: esses são os valores atingidos

▶Conjunto imagem:

ℝ \ {0}