conjunto imagem de f(x)= 1/(x+3) — solução passo a passo

1) Vamos procurar os valores reais que

\frac{1}{x + 3}

assume, para

x

real

⇥Vamos determinar o domínio de

\frac{1}{x + 3}

⇥ Para que a expressão

\frac{1}{x + 3}

esteja definida, é necessário:

x + 3 \neq 0

⇥ⓘ Subtraímos

3

a ambos os membros

⇥Solução obtida:

x \neq -3

O domínio de partida é

x \neq -3

2) Fazemos

y = \frac{1}{x + 3}

e resolvemos para

x

, para exprimir a entrada em função do valor atingido

⇥2.1) Vamos resolver em

ℝ

y = \frac{1}{x + 3}

⇥

\frac{1}{x + 3} = y

⇥Multiplicamos ambos os membros por

x + 3

, não nulo para que as frações estejam definidas

⇥

\frac{1}{x + 3} \cdot (x + 3) = y \cdot (x + 3)

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{x + 3} \cdot (x + 3)

\frac{1 \cdot (x + 3)}{x + 3}

\frac{x + 3}{x + 3}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

x + 3

\frac{x + 3}{x + 3}

1

⇥

1 = y \cdot (x + 3)

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

y \cdot (x + 3)

y x + y \cdot 3

⇥

1 = y x + y \cdot 3

⇥

y x + y \cdot 3 = 1

⇥

y x = 1 - y \cdot 3

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

y

, que deve ser não nulo:

y \neq 0

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = \frac{1 - 3 y}{y}

⇥2.2) Vamos determinar o domínio de

y = \frac{1}{x + 3}

⇥ Para que a expressão

\frac{1}{x + 3}

esteja definida, é necessário:

x + 3 \neq 0

⇥ⓘ Subtraímos

3

a ambos os membros

⇥Restrições do domínio:

x \neq -3

3) A equação tem solução em

x

exatamente quando

y \neq 0

: esses são os valores atingidos

▶Conjunto imagem:

ℝ \ {0}