conjunto imagem de f(x)=-e^{-x} — solução passo a passo

⚠ f(x)=-e^{-x} é interpretado como f(x)=-e^(-x): utilize ^(...) para agrupar um expoente, utilize * para multiplicar

1) Vamos procurar os valores reais que

- e^{- x}

assume através do seu quadro de variação

⇥Vamos estudar a variação de

f (x)

: procuremos primeiro onde se anula a sua derivada

f^{'} (x) = \frac{1}{e^{x}}

⇥Vamos resolver em

ℝ

\frac{1}{e^{x}} = 0

⇥⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

1 = 0

⇥⇥A afirmação

1 = 0

é falsa, qualquer que seja o valor de

x

⇥⇥Solução:

x \in \emptyset

⇥⇥1.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

e^{x} \neq 0

⇥⇥Em ℝ, a função exponencial é estritamente positiva:

e^{x} > 0

, pelo que

e^{x} \neq 0

é verdadeira para todo

x

⇥⇥Solução obtida:

x \in ℝ

⇥

f^{'} (x)

não se anula no domínio de

f

⇥Formada por funções usuais,

f^{'} (x)

é contínua onde está definida: em cada intervalo onde não se anula, mantém o sinal do seu valor num ponto

⇥

f^{'} (0) = 1

> 0:

f

é crescente em

ℝ

⇥Vamos calcular os valores de

f

nos extremos do quadro, ou os seus limites nos extremos infinitos ou excluídos

⇥Quando

x

tende para

-∞

f (x)

tende para

-∞

⇥Quando

x

tende para

+∞

f (x)

tende para

0

⇥Vamos construir o quadro de variação:

⇥

⇥Portanto,

f

é crescente em

ℝ

ℝ

f

é contínua: assume todos os valores de

] -∞; 0 [

▶Conjunto imagem:

] -∞; 0 [