conjunto imagem de pi-3arcsin(2x-1)

1) Vamos procurar os valores reais que

π - 3 \cdot \arcsin (2 x - 1)

assume através do seu quadro de variação

⇥Vamos estudar a variação de

f (x)

: procuremos primeiro onde se anula a sua derivada

f^{'} (x) = - \frac{6}{\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}}}

⇥⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

- \frac{6}{\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}}} = 0

⇥⇥⇥1.1.1) Vamos resolver em

ℝ

-6 = 0

⇥⇥⇥A afirmação

-6 = 0

é falsa, qualquer que seja o valor de

x

⇥⇥⇥Solução:

x \in \emptyset

⇥⇥⇥1.1.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}} \neq 0

⇥⇥⇥De

\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}} \neq 0

deduzimos:

1 - {(2 x - 1)}^{2} \neq 0

⇥⇥⇥Para

1 - {(2 x - 1)}^{2}

, reconhecemos uma diferença de quadrados:

1^{2} - {(2 x - 1)}^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, com

a = 1

b = 2 x - 1

⇥⇥⇥Podemos fatorizar a expressão

1 - {(2 x - 1)}^{2}

como

(1 - (2 x - 1)) \cdot (1 + (2 x - 1))

⇥⇥⇥1.1.3) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

(1 - (2 x - 1)) \cdot (1 + (2 x - 1)) \neq 0

⇥⇥⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 x - 1)

- 2 x + 1

■Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

1 - 1

0

⇥⇥⇥

(1 - 2 x + 1) \cdot (0 + 2 x) \neq 0

⇥⇥⇥ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

1 + 1

2

■Somar 0 não altera o valor:

0 + 2 x

2 x

⇥⇥⇥

(2 - 2 x) \cdot 2 x \neq 0

⇥⇥⇥Simplificamos a expressão por

2

⇥⇥⇥1.1.3.1) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

2 - 2 x \neq 0

⇥⇥⇥

2 x \neq 2

⇥⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥⇥⇥

x \neq \frac{2}{2}

⇥⇥⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

⇥⇥⇥Condição de definição:

x \neq 1

⇥⇥⇥1.1.3.2) Para evitar um denominador nulo, vamos resolver:

x \neq 0

⇥⇥⇥Condição de definição:

x \neq 0

⇥⇥1.2) Vamos determinar o domínio de

- \frac{6}{\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}}} = 0

⇥⇥ Para que a expressão

- \frac{6}{\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}}} = 0

esteja definida, é necessário:

1 - {(2 x - 1)}^{2} > 0

⇥⇥ Para que a expressão

\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}}

esteja definida, é necessário:

1 - (2 x - 1) \cdot (2 x - 1) \geq 0

⇥⇥1.3) Vamos resolver em

ℝ

1 - {(2 x - 1)}^{2} > 0

⇥⇥Para

1 - {(2 x - 1)}^{2}

, reconhecemos uma diferença de quadrados:

1^{2} - {(2 x - 1)}^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, com

a = 1

b = 2 x - 1

⇥⇥Podemos fatorizar a expressão

1 - {(2 x - 1)}^{2}

como

(1 - (2 x - 1)) \cdot (1 + (2 x - 1))

⇥⇥1.4) Vamos resolver em

ℝ

(1 - (2 x - 1)) \cdot (1 + (2 x - 1)) > 0

⇥⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 x - 1)

- 2 x + 1

■Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

1 - 1

0

⇥⇥

(1 - 2 x + 1) \cdot (0 + 2 x) > 0

⇥⇥ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

1 + 1

2

■Somar 0 não altera o valor:

0 + 2 x

2 x

⇥⇥

(2 - 2 x) \cdot 2 x > 0

⇥⇥Simplificamos a expressão por

2

⇥⇥Estudamos o sinal de cada fator do produto

⇥⇥⇥A expressão

2 - 2 x

anula-se em:

⇥⇥⇥

x = \frac{-2}{-2}

⇥⇥⇥ⓘ Os sinais de menos do numerador e do denominador anulam-se:

\frac{-2}{-2}

\frac{2}{2}

⇥⇥⇥

x = \frac{2}{2}

⇥⇥⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

⇥⇥⇥

x = 1

⇥⇥⇥Como o seu coeficiente de

x

-2

, é negativo, é positiva antes e negativa depois de

1

⇥⇥⇥A expressão

x

anula-se em

x = 0

e é negativa antes e positiva depois

⇥⇥1.5) Vamos construir o quadro de sinais:

⇥⇥

x	$-∞$		$0$		$1$		$+∞$
$2 - 2 x$		+		+	0	-
$x$		-	0	+		+
$1 - {(2 x - 1)}^{2}$		-	0	+	0	-

⇥⇥Solução encontrada:

x \in] 0; 1 [

⇥⇥1.6) Vamos resolver em

ℝ

1 - (2 x - 1) \cdot (2 x - 1) \geq 0

⇥⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- (2 x - 1) \cdot (2 x - 1)

- (2 \cdot x \cdot 2 \cdot x

+ 2 x \cdot (-1)

- 1 \cdot 2 x

- 1 \cdot (-1))

⇥⇥

1 - (2 \cdot x \cdot 2 \cdot x

+ 2 x \cdot (-1)

- 1 \cdot 2 x

- 1 \cdot (-1)) \geq 0

⇥⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 \cdot x \cdot 2 \cdot x

+ 2 x \cdot (-1)

- 1 \cdot 2 x

- 1 \cdot (-1))

- 2 \cdot x \cdot 2 \cdot x

- 2 x \cdot (-1)

+ 1 \cdot 2 x

+ 1 \cdot (-1)

⇥⇥

1

- 2 \cdot x \cdot 2 \cdot x

- 2 x \cdot (-1)

+ 1 \cdot 2 x

+ 1 \cdot (-1) \geq 0

⇥⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 2

4

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-2 \cdot (-1)

2

⇥⇥

1

- 4 x^{2}

+ 2 x

+ 2 x

- 1 \geq 0

⇥⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

1

na reta numérica, até ao zero:

1 - 1

0

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

2 x + 2 x

4 x

⇥⇥

0 - 4 x^{2} + 4 x \geq 0

⇥⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 4 x^{2}

-4 x^{2}

⇥⇥

- 4 x^{2} + 4 x \geq 0

⇥⇥Podemos fatorizar a expressão

4 x - 4 x^{2}

como

x \cdot (4 - 4 x)

⇥⇥Estudamos o sinal de cada fator do produto

⇥⇥⇥A expressão

x

anula-se em

x = 0

e é negativa antes e positiva depois

⇥⇥⇥A expressão

4 - 4 x

anula-se em:

⇥⇥⇥

x = \frac{-4}{-4}

⇥⇥⇥ⓘ Os sinais de menos do numerador e do denominador anulam-se:

\frac{-4}{-4}

\frac{4}{4}

⇥⇥⇥

x = \frac{4}{4}

⇥⇥⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

\frac{4}{4}

1

⇥⇥⇥

x = 1

⇥⇥⇥Como o seu coeficiente de

x

-4

, é negativo, é positiva antes e negativa depois de

1

⇥⇥1.7) Vamos construir o quadro de sinais:

⇥⇥

x	$-∞$		$0$		$1$		$+∞$
$x$		-	0	+		+
$4 - 4 x$		+		+	0	-
$1 - (2 x - 1) \cdot (2 x - 1)$		-	0	+	0	-

⇥⇥Solução obtida:

x \in [0; 1]

⇥⇥A interseção de

x \in] 0; 1 [

x \in [0; 1]

dá

x \in] 0; 1 [

⇥⇥Restrições do domínio:

x \in] 0; 1 [

⇥

f^{'} (x)

não se anula no domínio de

f

⇥Formada por funções usuais,

f^{'} (x)

é contínua onde está definida: em cada intervalo onde não se anula, mantém o sinal do seu valor num ponto

⇥

f^{'} (\frac{1}{2}) = -6

< 0:

f

é decrescente em

] 0; 1 [

⇥Vamos calcular os valores de

f

nos extremos do quadro, ou os seus limites nos extremos infinitos ou excluídos

⇥

f (0) = π - 3 \cdot \arcsin (2 \cdot 0 - 1) = \frac{5 π}{2}

⇥

f (1) = π - 3 \cdot \arcsin (2 \cdot 1 - 1) = - \frac{π}{2}

⇥Vamos construir o quadro de variação:

⇥

$x$	$0$		$1$
$f^{'} (x)$	‖	-	‖
$f (x)$	$\frac{5 π}{2}$	↘	$- \frac{π}{2}$

⇥Portanto,

f

é decrescente em

[0; 1]

[0; 1]

f

é contínua: assume todos os valores de

[- \frac{π}{2}; \frac{5 π}{2}]

▶Conjunto imagem:

[- \frac{π}{2}; \frac{5 π}{2}]