conjunto imagem de x+16/x — solução passo a passo

1) Vamos procurar os valores reais que

x + \frac{16}{x}

assume através do seu quadro de variação

⇥Vamos estudar a variação de

f (x)

: procuremos primeiro onde se anula a sua derivada

f^{'} (x) = 1 - \frac{16}{x^{2}}

⇥⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

1 - \frac{16}{x^{2}} = 0

⇥⇥Multiplicamos ambos os membros por

x^{2}

, não nulo para que as frações estejam definidas

⇥⇥

x^{2} - \frac{16}{x^{2}} \cdot x^{2} = 0 \cdot x^{2}

⇥⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{16}{x^{2}} \cdot x^{2}

\frac{16 x^{2}}{x^{2}}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

- \frac{16 x^{2}}{x^{2}}

-16

■Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot x^{2}

0

⇥⇥

x^{2} - 16 = 0

⇥⇥Os dois números cujo quadrado vale

16

são

-4

4

⇥⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = {-4; 4}

⇥⇥1.2) Vamos procurar o domínio de

1 - \frac{16}{x^{2}} = 0

⇥⇥ Para que a expressão

- \frac{16}{x^{2}}

esteja definida, é necessário:

x^{2} \neq 0

⇥⇥De

x^{2} \neq 0

deduzimos:

x \neq 0

⇥⇥Restrições do domínio:

x \neq 0

⇥

f^{'} (x)

anula-se em

x = {-4; 4}

⇥Formada por funções usuais,

f^{'} (x)

é contínua onde está definida: em cada intervalo onde não se anula, mantém o sinal do seu valor num ponto

⇥

f^{'} (-5) = \frac{9}{25}

> 0:

f

é crescente em

] -∞; -4 [

⇥

f^{'} (-1) = -15

< 0:

f

é decrescente em

] -4; 0 [

⇥

f^{'} (1) = -15

< 0:

f

é decrescente em

] 0; 4 [

⇥

f^{'} (5) = \frac{9}{25}

> 0:

f

é crescente em

] 4; +∞ [

⇥Vamos calcular os valores de

f

nos extremos do quadro, ou os seus limites nos extremos infinitos ou excluídos

⇥Quando

x

tende para

-∞

f (x)

tende para

-∞

⇥

f (-4) = - 4 + \frac{16}{-4} = -8

⇥Quando

x

se aproxima de

0

pela esquerda,

f (x)

tende para

-∞

; pela direita, para

+∞

⇥

f (4) = 4 + \frac{16}{4} = 8

⇥Quando

x

tende para

+∞

f (x)

tende para

+∞

⇥Vamos construir o quadro de variação:

⇥

$x$	$-∞$		$-4$		$0$		$4$		$+∞$
$f^{'} (x)$		+	$0$	-	‖	-	$0$	+
$f (x)$	$-∞$	↗	$-8$	↘	$-∞$ ‖ $+∞$	↘	$8$	↗	$+∞$

⇥Portanto,

f

é crescente em

] -∞; -4]

, decrescente em

[-4; 0 [

e em

] 0; 4]

e crescente em

[4; +∞ [

] -∞; 0 [

f

é contínua: assume todos os valores de

] -∞; -8]

] 0; +∞ [

f

é contínua: assume todos os valores de

[8; +∞ [

▶Conjunto imagem:

] -∞; -8] \cup [8; +∞ [