conjunto imagem de x/(6x-5) — solução passo a passo

1) Vamos procurar os valores reais que

\frac{x}{6 x - 5}

assume, para

x

real

⇥Vamos procurar o domínio de

\frac{x}{6 x - 5}

⇥ Para que a expressão

\frac{x}{6 x - 5}

esteja definida, é necessário:

6 x - 5 \neq 0

⇥ⓘ Somamos

5

a ambos os membros

⇥

6 x \neq 5

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

6

⇥Solução obtida:

x \neq \frac{5}{6}

O domínio de partida é

x \neq \frac{5}{6}

2) Fazemos

y = \frac{x}{6 x - 5}

e resolvemos para

x

, para exprimir a entrada em função do valor atingido

⇥2.1) Vamos resolver em

ℝ

y = \frac{x}{6 x - 5}

⇥

\frac{x}{6 x - 5} = y

⇥Multiplicamos ambos os membros por

6 x - 5

, não nulo para que as frações estejam definidas

⇥

\frac{x}{6 x - 5} \cdot (6 x - 5) = y \cdot (6 x - 5)

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{x}{6 x - 5} \cdot (6 x - 5)

\frac{x \cdot (6 x - 5)}{6 x - 5}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

6 x - 5

\frac{x \cdot (6 x - 5)}{6 x - 5}

x

⇥

x = y \cdot (6 x - 5)

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

y \cdot (6 x - 5)

y \cdot 6 x + y \cdot (-5)

⇥

x = y \cdot 6 x + y \cdot (-5)

⇥ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

y \cdot (-5)

- 5 y

⇥

x = y \cdot 6 x - 5 y

⇥

x - y \cdot 6 x = -5 y

⇥

(1 - y \cdot 6) \cdot x = -5 y

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

(1 - y \cdot 6)

, que deve ser não nulo:

y \neq \frac{1}{6}

⇥

x = \frac{-5 y}{1 - y \cdot 6}

⇥

x = - \frac{5 y}{1 - y \cdot 6}

⇥ⓘ O sinal de menos da fração passa para o numerador ou para o denominador e muda o sinal de cada um dos seus termos:

- \frac{5 y}{1 - y \cdot 6}

\frac{5 y}{- 1 + y \cdot 6}

⇥

x = \frac{5 y}{- 1 + y \cdot 6}

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = \frac{5 y}{6 y - 1}

⇥2.2) Vamos determinar o domínio de

y = \frac{x}{6 x - 5}

⇥ Para que a expressão

\frac{x}{6 x - 5}

esteja definida, é necessário:

6 x - 5 \neq 0

⇥ⓘ Somamos

5

a ambos os membros

⇥

6 x \neq 5

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

6

⇥Restrições do domínio:

x \neq \frac{5}{6}

3) A equação tem solução em

x

exatamente quando

y \neq \frac{1}{6}

: esses são os valores atingidos

▶Conjunto imagem:

ℝ \ {\frac{1}{6}}