conjunto imagem de xsqrt(36-x) — solução passo a passo

⚠ xsqrt(36-x) é interpretado como x*sqrt(36-x): utilize * para uma multiplicação, utilize ^ para uma potência

1) Vamos procurar os valores reais que

x \cdot \sqrt{36 - x}

assume através do seu quadro de variação

⇥Vamos estudar a variação de

f (x)

: procuremos primeiro onde se anula a sua derivada

f^{'} (x) = \sqrt{36 - x} - \frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}}

⇥⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

\sqrt{36 - x} - \frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}} = 0

⇥⇥Multiplicamos ambos os membros por

2 \cdot \sqrt{36 - x}

, não nulo para que as frações estejam definidas

⇥⇥

\sqrt{36 - x} \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x} - \frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}} \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x} = 0 \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x}

⇥⇥ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

\sqrt{36 - x} \cdot \sqrt{36 - x}

36 - x

■Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}} \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x}

\frac{x \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x}}{2 \cdot \sqrt{36 - x}}

■Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x}

0

⇥⇥

2 \cdot (36 - x) - \frac{x \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x}}{2 \cdot \sqrt{36 - x}} = 0

⇥⇥ⓘ O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

- \frac{x \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x}}{2 \cdot \sqrt{36 - x}}

\frac{2 \cdot (- x)}{2}

⇥⇥

2 \cdot (36 - x) + \frac{2 \cdot (- x)}{2} = 0

⇥⇥ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

2 \cdot (- x)

- 2 x

⇥⇥

2 \cdot (36 - x) - \frac{2 x}{2} = 0

⇥⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{2 x}{2}

- x

⇥⇥

2 \cdot (36 - x) - x = 0

⇥⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

2 \cdot (36 - x)

72 + 2 \cdot (- x)

⇥⇥

72 + 2 \cdot (- x) - x = 0

⇥⇥ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

2 \cdot (- x)

- 2 x

⇥⇥

72 - 2 x - x = 0

⇥⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 2 x - x

-3 x

⇥⇥

72 - 3 x = 0

⇥⇥ⓘ Somamos

3 x

a ambos os membros

⇥⇥

72 = 3 x

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

3

⇥⇥

x = \frac{72}{3}

⇥⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

3

, o seu máximo divisor comum:

\frac{72}{3}

24

⇥⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = 24

⇥⇥1.2) Vamos procurar o domínio de

\sqrt{36 - x} - \frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}} = 0

⇥⇥ Para que a expressão

\sqrt{36 - x}

esteja definida, é necessário:

36 - x \geq 0

⇥⇥ Para que a expressão

- \frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}}

esteja definida, é necessário:

2 \cdot \sqrt{36 - x} \neq 0

⇥⇥1.3) Vamos resolver em

ℝ

36 - x \geq 0

⇥⇥ⓘ Somamos

x

a ambos os membros

⇥⇥

36 \geq x

⇥⇥Solução encontrada:

x \leq 36

⇥⇥1.4) Vamos resolver em

ℝ

2 \cdot \sqrt{36 - x} \neq 0

⇥⇥Simplificamos a expressão por

2

⇥⇥⇥Vamos resolver em

ℝ

\sqrt{36 - x} \neq 0

⇥⇥⇥De

\sqrt{36 - x} \neq 0

deduzimos:

36 - x > 0

⇥⇥⇥ⓘ Somamos

x

a ambos os membros

⇥⇥⇥

36 > x

⇥⇥⇥Solução obtida:

x < 36

⇥⇥A interseção de

x \leq 36

x < 36

dá

x < 36

⇥⇥Restrições do domínio:

x < 36

⇥

f^{'} (x)

anula-se em

x = 24

⇥Formada por funções usuais,

f^{'} (x)

é contínua onde está definida: em cada intervalo onde não se anula, mantém o sinal do seu valor num ponto

⇥

f^{'} (0) = 6

> 0:

f

é crescente em

] -∞; 24 [

⇥

f^{'} (25) = - \frac{3 \cdot \sqrt{11}}{22}

< 0:

f

é decrescente em

] 24; 36 [

⇥Vamos calcular os valores de

f

nos extremos do quadro, ou os seus limites nos extremos infinitos ou excluídos

⇥Quando

x

tende para

-∞

f (x)

tende para

-∞

⇥

f (24) = 24 \cdot \sqrt{36 - 24} = 48 \cdot \sqrt{3}

⇥

f (36) = 36 \cdot \sqrt{36 - 36} = 0

⇥Vamos construir o quadro de variação:

⇥

$x$	$-∞$		$24$		$36$
$f^{'} (x)$		+	$0$	-	‖
$f (x)$	$-∞$	↗	$48 \cdot \sqrt{3}$	↘	$0$

⇥Portanto,

f

é crescente em

] -∞; 24]

e decrescente em

[24; 36]

] -∞; 36]

f

é contínua: assume todos os valores de

] -∞; 48 \cdot \sqrt{3}]

▶Conjunto imagem:

] -∞; 48 \cdot \sqrt{3}]