derivada de \sqrt[3]{6+2x+x^3} — solução passo a passo

Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\sqrt[3]{6 + 2 x + x^{3}})

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

6 + 2 x + x^{3}

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (\sqrt[3]{6 + 2 x + x^{3}})

\frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 2 x + x^{3}) \cdot {(6 + 2 x + x^{3})}^{- \frac{2}{3}}

\frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 2 x + x^{3}) \cdot {(6 + 2 x + x^{3})}^{- \frac{2}{3}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 2 x + x^{3}) \cdot {(6 + 2 x + x^{3})}^{- \frac{2}{3}}

\frac{1 \cdot \frac{d}{d x} (6 + 2 x + x^{3}) \cdot {(6 + 2 x + x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}

\frac{\frac{d}{d x} (6 + 2 x + x^{3}) \cdot {(6 + 2 x + x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}

■Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

\frac{\frac{d}{d x} (6 + 2 x + x^{3}) \cdot {(6 + 2 x + x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}

\frac{\frac{d}{d x} (6 + 2 x + x^{3})}{3 \cdot \sqrt[3]{{(6 + 2 x + x^{3})}^{2}}}

\frac{\frac{d}{d x} (6 + 2 x + x^{3})}{3 \cdot \sqrt[3]{{(6 + 2 x + x^{3})}^{2}}}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (6 + 2 x + x^{3})

0 + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{0 + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (x^{3})}{3 \cdot \sqrt[3]{{(6 + 2 x + x^{3})}^{2}}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (2 x)

\frac{d}{d x} (2 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

\frac{2 + 3 x^{2}}{3 \cdot \sqrt[3]{{(6 + 2 x + x^{3})}^{2}}}

▶Derivada:

\frac{3 x^{2} + 2}{3 \cdot \sqrt[3]{{(x^{3} + 2 x + 6)}^{2}}}