derivada de 1/(1+sin(x)) — solução passo a passo

Para facilitar a derivação, transformamos a expressão

\frac{1}{1 + \sin (x)}

{(1 + \sin (x))}^{-1}

Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({(1 + \sin (x))}^{-1})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

1 + \sin (x)

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(1 + \sin (x))}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (1 + \sin (x)) \cdot {(1 + \sin (x))}^{-2}

-1 \cdot \frac{d}{d x} (1 + \sin (x)) \cdot {(1 + \sin (x))}^{-2}

ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot \frac{d}{d x} (1 + \sin (x)) \cdot {(1 + \sin (x))}^{-2}

- \frac{d}{d x} (1 + \sin (x)) \cdot {(1 + \sin (x))}^{-2}

- \frac{d}{d x} (1 + \sin (x)) \cdot {(1 + \sin (x))}^{-2}

ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

- \frac{d}{d x} (1 + \sin (x)) \cdot {(1 + \sin (x))}^{-2}

- \frac{\frac{d}{d x} (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}

- \frac{\frac{d}{d x} (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (1 + \sin (x))

0 + \frac{d}{d x} (\sin (x))

- \frac{0 + \frac{d}{d x} (\sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (\sin (x))

\frac{d}{d x} (\sin (x))

■A derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (x))

\cos (x)

- \frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}

▶Derivada:

- \frac{\cos (x)}{{(\sin (x) + 1)}^{2}}