derivada de 1/(cos^2(x)) — solução passo a passo

Para facilitar a derivação, transformamos a expressão

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

{\cos (x)}^{-2}

Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({\cos (x)}^{-2})

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

\cos (x)

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({\cos (x)}^{-2})

-2 \cdot \frac{d}{d x} (\cos (x)) \cdot {\cos (x)}^{-3}

-2 \cdot \frac{d}{d x} (\cos (x)) \cdot {\cos (x)}^{-3}

ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

- 2 \cdot \frac{d}{d x} (\cos (x)) \cdot {\cos (x)}^{-3}

- \frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (\cos (x))}{{\cos (x)}^{3}}

- \frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (\cos (x))}{{\cos (x)}^{3}}

ⓘ A derivada de

\cos (x)

- \sin (x)

\frac{d}{d x} (\cos (x))

- \sin (x)

- \frac{2 \cdot (- \sin (x))}{{\cos (x)}^{3}}

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

2 \cdot (- \sin (x))

- 2 \cdot \sin (x)

- (\frac{- 2 \cdot \sin (x)}{{\cos (x)}^{3}})

ⓘ Dois sinais de menos anulam-se:

- (\frac{- 2 \cdot \sin (x)}{{\cos (x)}^{3}})

\frac{2 \cdot \sin (x)}{{\cos (x)}^{3}}

\frac{2 \cdot \sin (x)}{{\cos (x)}^{3}}

ⓘ Quando

\cos (x) \neq 0

\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \tan (x)

\frac{2 \cdot \sin (x)}{{\cos (x)}^{3}}

\frac{2 \cdot \tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

▶Derivada:

\frac{2 \cdot \tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}