derivada de 1/(sqrt(64+5t^2)) — solução passo a passo

Para facilitar a derivação, transformamos a expressão

\frac{1}{\sqrt{64 + 5 t^{2}}}

{(64 + 5 t^{2})}^{- \frac{1}{2}}

Vamos derivar:

\frac{d}{d t} ({(64 + 5 t^{2})}^{- \frac{1}{2}})

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d t} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d t} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

64 + 5 t^{2}

ⓘ A derivada de

t^{n}

n t^{n - 1}

\frac{d}{d t} ({(64 + 5 t^{2})}^{- \frac{1}{2}})

- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d t} (64 + 5 t^{2}) \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{- \frac{3}{2}}

- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d t} (64 + 5 t^{2}) \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{- \frac{3}{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d t} (64 + 5 t^{2}) \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{- \frac{3}{2}}

- \frac{1 \cdot \frac{d}{d t} (64 + 5 t^{2}) \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2}

- \frac{\frac{d}{d t} (64 + 5 t^{2}) \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2}

■Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

- \frac{\frac{d}{d t} (64 + 5 t^{2}) \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2}

- \frac{\frac{d}{d t} (64 + 5 t^{2})}{2 \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{\frac{3}{2}}}

- \frac{\frac{d}{d t} (64 + 5 t^{2})}{2 \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d t} (64 + 5 t^{2})

0 + \frac{d}{d t} (5 t^{2})

- \frac{0 + \frac{d}{d t} (5 t^{2})}{2 \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d t} (5 t^{2})

\frac{d}{d t} (5 t^{2})

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d t} (5 t^{2})

5 \cdot \frac{d}{d t} (t^{2})

■A derivada de

t^{n}

n t^{n - 1}

\frac{d}{d t} (t^{2})

2 t

- \frac{5 \cdot 2 t}{2 \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⅰ

5 \cdot 2

10

- \frac{10 t}{2 \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{10 t}{2 \cdot {(64 + 5 t^{2})}^{\frac{3}{2}}}

- \frac{5 t}{{(64 + 5 t^{2})}^{\frac{3}{2}}}

- \frac{5 t}{{(64 + 5 t^{2})}^{\frac{3}{2}}}

▶Derivada:

- \frac{5 t}{{(5 t^{2} + 64)}^{\frac{3}{2}}}