derivada de 10x(x^2+7)^4 — solução passo a passo

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (10 x \cdot {(x^{2} + 7)}^{4})

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (10 x \cdot {(x^{2} + 7)}^{4})

10 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot {(x^{2} + 7)}^{4})

10 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot {(x^{2} + 7)}^{4})

Para

u1

x

v2

{(x^{2} + 7)}^{4}

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Vamos derivar

u1

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

1

3) Vamos derivar

v2

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{4})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

x^{2} + 7

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{4})

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 7) \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 7) \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

4 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0) \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

4 \cdot 2 x \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

ⅰ

4 \cdot 2

8

8 x \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

4) Avaliamos a derivada obtida (

u1 \cdot v2

)':

1 \cdot {(x^{2} + 7)}^{4} + x \cdot 8 x \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

{(x^{2} + 7)}^{4} + 8 x^{2} \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot {(x^{2} + 7)}^{4})

{(x^{2} + 7)}^{4} + 8 x^{2} \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

10 \cdot ({(x^{2} + 7)}^{4} + 8 x^{2} \cdot {(x^{2} + 7)}^{3})

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

10 \cdot ({(x^{2} + 7)}^{4} + 8 x^{2} \cdot {(x^{2} + 7)}^{3})

10 \cdot {(x^{2} + 7)}^{4} + 80 x^{2} \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

10 \cdot {(x^{2} + 7)}^{4} + 80 x^{2} \cdot {(x^{2} + 7)}^{3}

▶Derivada:

80 x^{2} \cdot {(x^{2} + 7)}^{3} + 10 \cdot {(x^{2} + 7)}^{4}