derivada de 5x^2cos(7x) — solução passo a passo

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (5 x^{2} \cdot \cos (7 x))

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (5 x^{2} \cdot \cos (7 x))

5 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \cos (7 x))

5 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \cos (7 x))

Para

u1

x^{2}

v2

\cos (7 x)

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Vamos derivar

u1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Vamos derivar

v2

\frac{d}{d x} (\cos (7 x))

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\cos (f)) = - \frac{d}{d x} (f) \cdot \sin (f)

com f =

7 x

ⓘ A derivada de

\cos (x)

- \sin (x)

\frac{d}{d x} (\cos (7 x))

- \frac{d}{d x} (7 x) \cdot \sin (7 x)

- \frac{d}{d x} (7 x) \cdot \sin (7 x)

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (7 x)

7

- 7 \cdot \sin (7 x)

4) Avaliamos a derivada obtida (

u1 \cdot v2

)':

2 x \cdot \cos (7 x) + x^{2} \cdot (- 7 \cdot \sin (7 x))

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

x^{2} \cdot (-7) \cdot \sin (7 x)

- 7 x^{2} \cdot \sin (7 x)

2 x \cdot \cos (7 x) - 7 x^{2} \cdot \sin (7 x)

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \cos (7 x))

2 x \cdot \cos (7 x) - 7 x^{2} \cdot \sin (7 x)

5 \cdot (2 x \cdot \cos (7 x) - 7 x^{2} \cdot \sin (7 x))

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

5 \cdot (2 x \cdot \cos (7 x) - 7 x^{2} \cdot \sin (7 x))

10 x \cdot \cos (7 x) - 35 x^{2} \cdot \sin (7 x)

10 x \cdot \cos (7 x) - 35 x^{2} \cdot \sin (7 x)

Podemos fatorizar a expressão como:

x \cdot (10 \cdot \cos (7 x) - 35 x \cdot \sin (7 x))

Vamos fatorizar em

ℝ

(10 \cdot \cos (7 x) - 35 x \cdot \sin (7 x))

Colocamos em evidência

5

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

10 \cdot \cos (7 x) - 35 x \cdot \sin (7 x)

5 \cdot (2 \cdot \cos (7 x) - 7 x \cdot \sin (7 x))

Fator encontrado:

2 \cdot \cos (7 x) - 7 x \cdot \sin (7 x)

▶Derivada:

5 x \cdot (2 \cdot \cos (7 x) - 7 x \cdot \sin (7 x))