derivada de 7x^4cot(x) — solução passo a passo

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (7 x^{4} \cdot \cot (x))

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (7 x^{4} \cdot \cot (x))

7 \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} \cdot \cot (x))

7 \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} \cdot \cot (x))

Para

u1

x^{4}

v2

\cot (x)

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Vamos derivar

u1

\frac{d}{d x} (x^{4})

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

4 x^{3}

3) Vamos derivar

v2

\frac{d}{d x} (\cot (x))

ⓘ A derivada de

\cot (x)

- {\csc (x)}^{2}

\frac{d}{d x} (\cot (x))

- {\csc (x)}^{2}

- {\csc (x)}^{2}

4) Avaliamos a derivada obtida (

u1 \cdot v2

)':

4 x^{3} \cdot \cot (x) + x^{4} \cdot (- {\csc (x)}^{2})

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

x^{4} \cdot (- {\csc (x)}^{2})

- x^{4} \cdot {\csc (x)}^{2}

4 x^{3} \cdot \cot (x) - x^{4} \cdot {\csc (x)}^{2}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{4} \cdot \cot (x))

4 x^{3} \cdot \cot (x) - x^{4} \cdot {\csc (x)}^{2}

7 \cdot (4 x^{3} \cdot \cot (x) - x^{4} \cdot {\csc (x)}^{2})

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

7 \cdot (4 x^{3} \cdot \cot (x) - x^{4} \cdot {\csc (x)}^{2})

28 x^{3} \cdot \cot (x) + 7 \cdot (- x^{4}) \cdot {\csc (x)}^{2}

28 x^{3} \cdot \cot (x) + 7 \cdot (- x^{4}) \cdot {\csc (x)}^{2}

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

7 \cdot (- x^{4})

-7 x^{4}

28 x^{3} \cdot \cot (x) - 7 x^{4} \cdot {\csc (x)}^{2}

Podemos fatorizar a expressão como:

x^{3} \cdot (28 \cdot \cot (x) - 7 x \cdot {\csc (x)}^{2})

Vamos fatorizar em

ℝ

(28 \cdot \cot (x) - 7 x \cdot {\csc (x)}^{2})

Colocamos em evidência

7

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

28 \cdot \cot (x) - 7 x \cdot {\csc (x)}^{2}

7 \cdot (4 \cdot \cot (x) - x \cdot {\csc (x)}^{2})

Fator encontrado:

4 \cdot \cot (x) - x \cdot {\csc (x)}^{2}

▶Derivada:

7 x^{3} \cdot (4 \cdot \cot (x) - x \cdot {\csc (x)}^{2})