derivada de (1-25x^2)^2arcsin(5x)

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({(1 - 25 x^{2})}^{2} \cdot \arcsin (5 x))

Para

u1

{(1 - 25 x^{2})}^{2}

v2

\arcsin (5 x)

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Vamos derivar

u1

\frac{d}{d x} ({(1 - 25 x^{2})}^{2})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

1 - 25 x^{2}

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(1 - 25 x^{2})}^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - 25 x^{2}) \cdot (1 - 25 x^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - 25 x^{2}) \cdot (1 - 25 x^{2})

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - 25 x^{2}) \cdot (1 - 25 x^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - 25 x^{2}) - 50 \cdot \frac{d}{d x} (1 - 25 x^{2}) \cdot x^{2}

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (1 - 25 x^{2})

0 + \frac{d}{d x} (- 25 x^{2})

2 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- 25 x^{2})) - 50 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- 25 x^{2})) \cdot x^{2}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (- 25 x^{2})

\frac{d}{d x} (- 25 x^{2})

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 25 x^{2})

-25 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 \cdot (-25 \cdot 2 x) - 50 \cdot (-25 \cdot 2 x) \cdot x^{2}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

25 \cdot 2

(20 + 5) \cdot 2

20 \cdot 2 + 5 \cdot 2

40 + 10

50

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-50 \cdot (-25)

50 \cdot 25

50 \cdot (20 + 5)

50 \cdot 20 + 50 \cdot 5

1000 + 250

1250

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x x^{2}

x^{3}

- 50 \cdot 2 x + 1250 \cdot 2 x^{3}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

50 \cdot 2

100

1250 \cdot 2

(1000 + 200 + 50) \cdot 2

1000 \cdot 2 + 200 \cdot 2 + 50 \cdot 2

2000 + 400 + 100

2500

- 100 x + 2500 x^{3}

3) Vamos derivar

v2

\frac{d}{d x} (\arcsin (5 x))

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\arcsin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - f^{2}}}

com f =

5 x

ⓘ A derivada de

\arcsin (x)

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{d}{d x} (\arcsin (5 x))

\frac{\frac{d}{d x} (5 x)}{\sqrt{1 - {(5 x)}^{2}}}

\frac{\frac{d}{d x} (5 x)}{\sqrt{1 - {(5 x)}^{2}}}

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (5 x)

5

■A potência de um produto é o produto das potências:

{(5 x)}^{2}

5^{2} \cdot x^{2}

\frac{5}{\sqrt{1 - 5^{2} \cdot x^{2}}}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

5^{2}

5 \cdot 5

25

\frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}

4) Avaliamos a derivada obtida (

u1 \cdot v2

)':

(- 100 x + 2500 x^{3}) \cdot \arcsin (5 x) + {(1 - 25 x^{2})}^{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

{(1 - 25 x^{2})}^{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}

\frac{{(1 - 25 x^{2})}^{2} \cdot 5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

\frac{{(1 - 25 x^{2})}^{2} \cdot 5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}

5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{2 - \frac{1}{2}}

(- 100 x + 2500 x^{3}) \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{2 - \frac{1}{2}}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

2 - \frac{1}{2}

\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}

(- 100 x + 2500 x^{3}) \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 2

4

(- 100 x + 2500 x^{3}) \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{4 - 1}{2}}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

4 - 1

3

(- 100 x + 2500 x^{3}) \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(- 100 x + 2500 x^{3}) \cdot \arcsin (5 x)

- 100 x \cdot \arcsin (5 x) + 2500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x)

- 100 x \cdot \arcsin (5 x) + 2500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} ({(1 - 25 x^{2})}^{2} \cdot \arcsin (5 x))

- 100 x \cdot \arcsin (5 x) + 2500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

- 100 x \cdot \arcsin (5 x) + 2500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

2500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) - 100 x \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

Colocamos em evidência

5

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

2500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) - 100 x \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

5 \cdot (500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) - 20 x \cdot \arcsin (5 x) + {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}})

Fator encontrado:

500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) - 20 x \cdot \arcsin (5 x) + {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

▶Derivada:

5 \cdot (500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) - 20 x \cdot \arcsin (5 x) + {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}})