derivada de (1-cos(x)/(1+cos(x)))

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (1 - \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)})

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (1 - \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)})

0 + \frac{d}{d x} (- \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)})

0 + \frac{d}{d x} (- \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)})

Para

p1

\cos (x)

q2

1 + \cos (x)

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (\cos (x))

ⓘ A derivada de

\cos (x)

- \sin (x)

\frac{d}{d x} (\cos (x))

- \sin (x)

- \sin (x)

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (1 + \cos (x))

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (1 + \cos (x))

0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))

0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))

\frac{d}{d x} (\cos (x))

■A derivada de

\cos (x)

- \sin (x)

\frac{d}{d x} (\cos (x))

- \sin (x)

- \sin (x)

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

- (\frac{- \sin (x) \cdot (1 + \cos (x)) - \cos (x) \cdot (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}})

ⓘ Extraímos os sinais de menos: um número par de sinais de menos anula-se e um número ímpar deixa um sinal de menos:

- \cos (x) \cdot (- \sin (x))

\cos (x) \cdot \sin (x)

- (\frac{- \sin (x) \cdot (1 + \cos (x)) + \cos (x) \cdot \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}})

ⓘ O sinal de menos da fração passa para o numerador ou para o denominador e muda o sinal de cada um dos seus termos:

- (\frac{- \sin (x) \cdot (1 + \cos (x)) + \cos (x) \cdot \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}})

\frac{\sin (x) \cdot (1 + \cos (x)) - \cos (x) \cdot \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

\frac{\sin (x) \cdot (1 + \cos (x)) - \cos (x) \cdot \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{\sin (x) \cdot (1 + \cos (x)) - \cos (x) \cdot \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

\frac{\sin (x) \cdot ((\cos (x) + 1) - \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

\frac{\sin (x) \cdot ((\cos (x) + 1) - \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

\cos (x) - \cos (x)

0

\frac{\sin (x) \cdot (0 + 1)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 1

1

\frac{\sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (- \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)})

\frac{\sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

\frac{\sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

▶Derivada:

\frac{\sin (x)}{{(\cos (x) + 1)}^{2}}