derivada de (2x-x^2/(3x^2+2)) — solução passo a passo

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (2 x - \frac{x^{2}}{3 x^{2} + 2})

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (2 x - \frac{x^{2}}{3 x^{2} + 2})

\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{3 x^{2} + 2})

\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{3 x^{2} + 2})

Para

p1

x^{2}

q2

3 x^{2} + 2

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 2)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 2)

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

3 \cdot 2 x

ⅰ

3 \cdot 2

6

6 x

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

- \frac{2 x \cdot (3 x^{2} + 2) - x^{2} \cdot 6 x}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x^{2} x

x^{3}

- \frac{2 x \cdot (3 x^{2} + 2) - 6 x^{3}}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ O sinal de menos da fração passa para o numerador ou para o denominador e muda o sinal de cada um dos seus termos:

- \frac{2 x \cdot (3 x^{2} + 2) - 6 x^{3}}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{- 2 x \cdot (3 x^{2} + 2) + 6 x^{3}}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{- 2 x \cdot (3 x^{2} + 2) + 6 x^{3}}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{- 2 x \cdot (3 x^{2} + 2) + 6 x^{3}}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (- (3 x^{2} + 2) + 3 x^{2})}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (- (3 x^{2} + 2) + 3 x^{2})}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (3 x^{2} + 2)

- 3 x^{2} - 2

\frac{2 x \cdot (- 3 x^{2} - 2 + 3 x^{2})}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 3 x^{2} + 3 x^{2}

0

\frac{2 x \cdot (0 - 2)}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 2

-2

■Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-2)

-4

\frac{-4 x}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

- \frac{4 x}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{3 x^{2} + 2})

- \frac{4 x}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

▶Derivada:

2 - \frac{4 x}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}