derivada de (2x/(3+x^2)) — solução passo a passo

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3 + x^{2}})

Para

p1

2 x

q2

3 + x^{2}

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (2 x)

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (3 + x^{2})

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (3 + x^{2})

0 + \frac{d}{d x} (x^{2})

0 + \frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{2 \cdot (3 + x^{2}) - 2 x \cdot 2 x}{{(3 + x^{2})}^{2}}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 2

4

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

\frac{2 \cdot (3 + x^{2}) - 4 x^{2}}{{(3 + x^{2})}^{2}}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

2 \cdot (3 + x^{2})

6 + 2 x^{2}

\frac{6 + 2 x^{2} - 4 x^{2}}{{(3 + x^{2})}^{2}}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

2 x^{2} - 4 x^{2}

-2 x^{2}

\frac{6 - 2 x^{2}}{{(3 + x^{2})}^{2}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3 + x^{2}})

\frac{6 - 2 x^{2}}{{(3 + x^{2})}^{2}}

\frac{6 - 2 x^{2}}{{(3 + x^{2})}^{2}}

▶Derivada:

\frac{6 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}